Понимание состояния излучения Зоммерфельда?

И вы, и ваш друг отчасти правы. (Я думал как твой друг всего 20 минут назад)

Позвольте мне переписать условие излучения Зоммерфельда для 2D-случая (в качестве примера, оно работает так же и в 3D).

$$\lim_{|\mathbf{x}|\to\infty}\sqrt{|\mathbf{x}|}\left(\frac{\partial u}{\partial|\mathbf{x}|}-iku\right)=0\quad\forall\theta$$

то есть предел должен быть$0$при уходе в бесконечность во всех направлениях.

Как вы говорите, если функция$u$является гладким и стремится к нулю, то предел выполняется.

С другой стороны, ваш друг мог подумать, что в случае плоской волны член в скобках равен нулю. Это не совсем так.

В 2D плоская волна принимает форму:

$$u\left(\mathbf{x}\right)=Ae^{ik\mathbf{d}\cdot\mathbf{x}}$$

существование$A$амплитуда волны,$k$волновое число (то же, что и в уравнении Гельмгольца),$i$мнимое число единицы, и$\mathbf{d}$единичный вектор в направлении распространения волны, то есть перпендикулярно фронту волны.

Если мы измерим наши углы относительно$\mathbf{d}$то плоскую волну также можно представить в виде:

$$u\left(\mathbf{x}\right)=Ae^{ik|\mathbf{x}|\cos(\theta)}$$

где мы оценивали только скалярное произведение.

Производная по$|\mathbf{x}|$затем:

$$\frac{\partial u}{\partial|\mathbf{x}|}=Aik\cos(\theta)e^{ik|\mathbf{x}|\cos(\theta)}=ik\cos(\theta)u\left(\mathbf{x}\right)$$

и мы видим, что это удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда только тогда, когда$\theta=0$.

Итак... резюмируя:

Удовлетворяет ли плоская волна условию излучения Зоммерфельда?

Нет, оно должно выполняться во всех направлениях и удовлетворяется только в направлении распространения волны.

Что значит де$iku$термин значит?

Это то, что вы получаете, когда дифференцируете плоскую волну по отношению к$|\mathbf{x}|$вдоль направления его распространения.

Что означает радиационное состояние Соммерфилда?

Условия излучения Зоммерфельда позволяют волнам излучать энергию только в направлении бесконечности (исходящие волны), но не позволяют бесконечности излучать обратно. В случае плоской волны распространение энергии идет только в одном направлении во всей плоскости и без затухания (это не очень физически). Это означает, что в зависимости от того, в каком направлении вы смотрите, энергия движется к бесконечности или исходит из бесконечности.

Условие гласит, что в каждом направлении в пространстве волна должна стремиться к плоской волне, распространяющейся в этом направлении, и разница между реальной волной и плоской волной, распространяющейся в этом направлении, должна уменьшаться быстрее, чем$\sqrt{|\mathbf{x}|}$.

Чтобы исправить вас, если функция$u$уменьшается быстрее, чем$\sqrt{|\mathbf{x}|}$во всех направлениях, то эта функция будет удовлетворять условию излучения Зоммерфельда, но это условие допускает более общие случаи.

Надеюсь, теперь все яснее.

Итак, каков истинный смысл условия излучения Зоммерфельда, подразумевает ли оно, что волна затухает до нуля, или излучающая волна затухает до плоской волны, или что-то еще.

Из приведенной ниже цитаты Зоммерфельда мне кажется, что "разброс в бесконечность" можно принять за затухание волны до нуля.

Из Википедии Излучение Зоммерфельда ,

Арнольд Зоммерфельд определил условие излучения скалярного поля, удовлетворяющего уравнению Гельмгольца, как

«источники должны быть источниками, а не поглотителями энергии. Энергия, излучаемая источниками, должна рассеиваться в бесконечность; никакая энергия не может излучаться из бесконечности в… поле».

Математически рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})u=-f{\mbox{ in }}\mathbb {R} ^{n}}$где ${\displaystyle n=2,3}$ размер пространства, ${\displaystyle f}$ - заданная функция с компактным носителем, представляющая ограниченный источник энергии, и ${\displaystyle k>0}$ является константой, называемой волновым числом.

Решение ${\displaystyle u}$  этому уравнению называется излучающим, если оно удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда

$${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial |x|}}-ik\right)u(x)=0}{\displaystyle {\hat {x}}={\frac {x}{|x|}}}$$ (выше,  ${\displaystyle i}$ является мнимой единицей и  ${\displaystyle |\cdot |}$ Евклидова норма). Здесь предполагается, что поле временной гармоники равно  ${\displaystyle e^{-i\omega t}u.}$ Если поле временной гармоники вместо  ${\displaystyle e^{i\omega t}u,}$ нужно заменить  ${\displaystyle -i}$ с  ${\displaystyle +i}$ в условиях излучения Зоммерфельда.

Для вашего второго пункта:

О чем говорит левая часть уравнения? Не очень понятно, что с умножением u на ik?

Из восьмидесяти лет радиационного состояния Зоммерфельда - CiteSeerX (с этим файлом связан PDF-файл, на который по какой-то причине я не могу ссылаться напрямую). Мои извинения за это, но PDF действительно дает возможное обоснование для формулировки уравнения, то есть для того, чтобы удалить нежелательные нефизические решения.

Одна из трудностей такой постановки задачи о распространении волн состоит в том, что решение может быть не единственным. Помимо ожидаемых исходящих волн, которые возникают, когда падающая волна рассеивается объектом, математическое решение также дает входящие волны, которые возникают в бесконечности и движутся к объекту. Эти приходящие волны физически бессмысленны и должны быть отброшены по какому-то критерию, встроенному в математическую постановку задачи. Зоммерфельд был первым, кто сформулировал математически точное и легко применимое условие, которое при добавлении к внешним краевым задачам для уравнения Гельмгольца обеспечивает единственное решение. Это условие применяется на бесконечности и для трехмерных задач требует, чтобы решение u удовлетворяло$Y= Vx’ + y= + 22, i=CT$, равномерно по всем направлениям приближения к пределу.

В (весьма вероятном) случае, когда есть тонкие аспекты этого, которые находятся далеко за пределами моей компетенции, я бы попросил вас погуглить приведенную выше ссылку и загрузить PDF.

Условие излучения Зоммерфельда используется для однозначного решения уравнения Гельмгольца. Например, рассмотрим задачу об излучении от точечного источника ${\displaystyle x_{0}}$ в трех измерениях, поэтому функция ${\displaystyle f}$ в уравнении Гельмгольца есть ${\displaystyle f(x)=\delta (x-x_{0}),}$где ${\displaystyle \delta }$ – дельта-функция Дирака. Эта задача имеет бесконечное число решений, например, любая функция вида

${\displaystyle u=cu_{+}+(1-c)u_{-}\,}$где ${\displaystyle c}$ является константой, и${\displaystyle u_{\pm }(x)={\frac {e^{\pm ik|x-x_{0}|}}{4\pi |x-x_{0}|}}.}$

Из всех этих решений только ${\displaystyle u_{+}}$ удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда и соответствует полю, излучающему ${\displaystyle x_{0}.}$. Другие решения нефизичны. Например, ${\displaystyle u_{-}}$ можно интерпретировать как энергию, приходящую из бесконечности и опускающуюся в ${\displaystyle x_{0}.}$