Поверхностный заряд на проводнике с током невозможен?

Question

Поверхностный заряд на проводнике с током невозможен?

СалахКоза

Я слышал из многочисленных источников (в первую очередь «Поверхностные заряды на проводах цепи и резисторах играют три роли» Дж. Д. Джексона), что существует поверхностный заряд на любом постоянном токопроводящем проводнике с одинаковой проводимостью (т. Е. Токопроводящие провода для простой цепи резистора батареи ). Этот поверхностный заряд необходим для того, чтобы электрическое поле внутри проводников было таким, чтобы у нас был постоянный однородный ток по всей цепи. Я понимаю, как закон Ома в сочетании с законом Гаусса допускают накопление поверхностного заряда в течение начального переходного периода, когда $\nabla \cdot J \neq0$ . Чего я не понимаю, так это того, как этот поверхностный заряд сохраняется в условиях стационарного состояния , когда $\nabla \cdot J =0$

Предположим, у нас есть такой провод однородной проводимости $\sigma$ . Внутри провода плотность заряда должна быть равна нулю, так как, если мы примем закон расходимости Ома, мы получим

\vec{Е} "=" 1 / о \vec{Дж} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{Е} "=" 1 / о \nabla \cdot \vec{Дж} "=" 0

$\vec{E}=1/\sigma \vec{J} \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\nabla \cdot \vec{E}=1/\sigma\, \nabla \cdot \vec{J}=0$ с

\nabla \cdot \vec{J} = 0

$\nabla \cdot \vec{J}=0$ для постоянного тока. Тогда из закона Гаусса мы знаем, что плотность заряда должна быть равна нулю везде внутри провода. Приведенный выше аргумент основывается на том, что

σ

$\sigma$ хотя внутри провода однородно. Однако по мере приближения к поверхности провода проводимость должна либо резко, либо непрерывно падать, пока не достигнет значения проводимости окружающего воздуха (практически нуля). Таким образом, если мы применим закон Ома вблизи или на поверхности провода, мы должны учитывать, что

σ

$\sigma$ больше не является константой, поэтому, принимая расхождение, мы получаем

\vec{Е} "=" 1 / о \vec{Дж} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{Е} "=" 1 / о \nabla \cdot \vec{Дж} + \vec{Дж} \cdot (\nabla \frac{1}{о}) "=" 0

$\vec{E}=1/\sigma \vec{J}\,\,\, \Rightarrow \,\,\, \nabla \cdot \vec{E}=1/\sigma\, \nabla \cdot \vec{J}+\vec{J}\cdot (\nabla \frac{1}{\sigma})=0$ но теперь с тех пор

\nabla \cdot \vec{J} = 0

$\nabla \cdot \vec{J}=0$ мы получаем это

\Rightarrow \nabla \cdot \vec{Е} "=" \vec{Дж} \cdot \nabla р

$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ где

\nabla ρ

$\nabla \rho$ – градиент удельного сопротивления (

ρ

$\rho$ это просто функция, которая дает значение удельного сопротивления во всех точках пространства и является постоянной функцией внутри провода, но непрерывно или скачкообразно возрастает вблизи поверхности провода, пока не достигнет значения удельного сопротивления воздуха). Моя проблема в том, что плотность тока

\vec{J}

$\vec{J}$ всегда в осевом направлении (даже вблизи или на поверхности), в то время как

\nabla ρ

$\nabla \rho$ всегда должен указывать радиально наружу вблизи или на поверхность (поскольку этот градиент по определению указывает в направлении увеличения

ρ

$\rho$ и это направление направлено наружу к окружающему воздуху с высоким сопротивлением). Итак, это означает скалярное произведение

\nabla \cdot \vec{E} = \vec{J} \cdot \nabla ρ

$\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ всегда должна равняться нулю на поверхности или вблизи нее, и поэтому по закону Гаусса плотность поверхностного заряда на поверхности также всегда должна равняться нулю. Но если это так, то как может возникнуть поверхностная плотность заряда на поверхности проводящего провода?

Любая помощь по этому вопросу будет очень признательна, потому что в последнее время это сводило меня с ума!

Редактировать:

Мое текущее мнение по этому вопросу состоит в том, что даже токопроводящий провод, содержащий изгиб, все равно должен иметь $\vec{J}\cdot \nabla \rho =0$ в любом месте на поверхности изгиба. Это потому, что я ожидал $\vec{J}$ быть направленным вдоль кривизны изгиба и, следовательно, быть параллельным касательной к поверхности изгиба. я бы тоже ожидал $\nabla \rho$ быть нормальным к поверхности изгиба. Следовательно $\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho=0$ в любом месте на поверхности изгиба, поэтому поверхностный заряд не должен накапливаться вдоль поверхности изгиба.

Гилберт

Изгибы проводов не рассматривали? Для идеального прямого провода с постоянным током действительно нет чистого заряда.

СалахКоза

@Gilbert Да, я ожидал, что даже на изгибе плотность тока

\vec{J}

$\vec{J}$ будет касаться провода и, следовательно, будет следовать изгибу, в то время как

\nabla ρ

$\nabla\rho$ всегда будет указывать прямо из провода и, следовательно, будет нормально к касательным линиям вдоль изгиба провода. Таким образом

\vec{J} \cdot \nabla ρ = 0

$\vec{J}\cdot \nabla \rho =0$ для всех точек на поверхности изгиба?

ХЕММИ

Как

\nabla \cdot \vec{E} = 0

$\nabla\cdot\vec{E}=0$ держать? Поскольку электрическое поле распространяется вне проводника,

\nabla \cdot \vec{E} = 0

$\nabla\cdot\vec{E}=0$ не выполняется для всей области, включая пространство и проводник.

СалахКоза

@HEMMI Мы исследуем постоянные токи, чтобы

\nabla \vec{J} = 0

$\nabla \vec{J}=0$ . Таким образом

\nabla \cdot \vec{E} = \vec{J} \cdot \nabla ρ

$\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ как показано в моем вопросе. Сейчас

\vec{J}

$\vec{J}$ касается поверхности провода везде вдоль провода (включая изгибы). Также

\nabla ρ

$\nabla \rho$ нормальна к проволоке на всей ее поверхности. Следовательно

\vec{J} \cdot \nabla ρ = 0

$\vec{J}\cdot \nabla \rho=0$ в любом месте на поверхности провода. Таким образом

\nabla \cdot E = 0

$\nabla \cdot E=0$ . Это все объясняется в моем вопросе. Я понимаю, что есть не ноль

E

$E$ поле снаружи. Как это может быть учитывая то, что я только что проиллюстрировал?

Ответы (7)

Поверхностный заряд на проводнике с током невозможен?

Изгибы проводов не рассматривали? Для идеального прямого провода с постоянным током действительно нет чистого заряда.
@Gilbert Да, я ожидал, что даже на изгибе плотность тока $\vec{J}$ будет касаться провода и, следовательно, будет следовать изгибу, в то время как $\nabla\rho$ всегда будет указывать прямо из провода и, следовательно, будет нормально к касательным линиям вдоль изгиба провода. Таким образом $\vec{J}\cdot \nabla \rho =0$ для всех точек на поверхности изгиба?
Как $\nabla\cdot\vec{E}=0$ держать? Поскольку электрическое поле распространяется вне проводника, $\nabla\cdot\vec{E}=0$ не выполняется для всей области, включая пространство и проводник.
@HEMMI Мы исследуем постоянные токи, чтобы $\nabla \vec{J}=0$ . Таким образом $\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ как показано в моем вопросе. Сейчас $\vec{J}$ касается поверхности провода везде вдоль провода (включая изгибы). Также $\nabla \rho$ нормальна к проволоке на всей ее поверхности. Следовательно $\vec{J}\cdot \nabla \rho=0$ в любом месте на поверхности провода. Таким образом $\nabla \cdot E=0$ . Это все объясняется в моем вопросе. Я понимаю, что есть не ноль $E$ поле снаружи. Как это может быть учитывая то, что я только что проиллюстрировал?

Шактяй · Answer 1

Я не согласен с вашей математикой. Из-за разрыва поверхности у вас есть некоторые условия перехода, которыми вы пренебрегли.

Из уравнения непрерывности для зарядов получаем:

\frac{\partial ϱ}{\partial т} + \vec{\nabla} . \vec{Дж} "=" 0

$\frac{\partial \varrho }{\partial t} + \overrightarrow{ \nabla } . \overrightarrow{j} =0$

С учетом плотности поверхностного заряда и тока и использования распределений для расчета расходимости получается:

\vec{\nabla} . \vec{Дж} "=" {\vec{\nabla} . \vec{Дж}} + \vec{н} . (\vec{{Дж}^{+}} - \vec{{Дж}^{-}}) {дельта}_{С}

$\overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{j}=\{ \overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{j}\}+ \overrightarrow{n}. \big( \overrightarrow{j^{+}}-\overrightarrow{j^{-}} \big) \delta _{S}$

$\overrightarrow{j^{+}}$ - плотность тока вне проводника (нулевой).

$\overrightarrow{j^{-}}=\overrightarrow{j_{S}}$ поверхностный ток.

$\{ \overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{j}\}$ является обычной дивергенцией, где нет разрыва. Из уравнения сохранения заряда получаем:

\Rightarrow \frac{\partial ϱ_{С}}{\partial т} + \vec{н} . (\vec{{Дж}^{+}} - \vec{{Дж}^{-}}) "=" 0

$\Rightarrow ~~~~ \frac{\partial \varrho_{S} }{\partial t} + \overrightarrow{n}. \big( \overrightarrow{j^{+}}-\overrightarrow{j^{-}}\big) =0$

С $\overrightarrow{j_{S}}$ касается поверхности, скалярное произведение равно нулю.

Итак, вы получаете:

\frac{\partial ϱ_{С}}{\partial т} "=" 0

$\frac{\partial \varrho_{S} }{\partial t}=0$

Поверхностная плотность заряда, если она есть, постоянна.

Применяя ту же технику к:

\vec{\nabla} . (о \vec{Е}) "=" \vec{\nabla} . (\vec{Дж})

$\overrightarrow{ \nabla }.(\sigma \overrightarrow{E} )=\overrightarrow{ \nabla }.( \overrightarrow{j} )$

Один получает:

\vec{н} . (о^{+} \vec{Е^{+}} - о^{-} \vec{Е^{-}}) "=" \vec{н} . (\vec{{Дж}^{+}} - \vec{{Дж}^{-}})

$\overrightarrow{n}. \big(\sigma^{+} \overrightarrow{E^{+}}-\sigma^{-}\overrightarrow{E^{-}}\big)=\overrightarrow{n}. \big( \overrightarrow{ j^{+}}- \overrightarrow{j^{-}}\big)$

Вне проводника:

о^{+} "=" 0

$\sigma^{+}=0$

{Дж}^{+} "=" \vec{0}

$j^{+}=\overrightarrow{0}$

На поверхности проводника:

\vec{{Дж}^{-}} . \vec{н} "=" \vec{{Дж}_{С}} . \vec{н} "=" 0

$\overrightarrow{j^{-}}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{j_{S}}.\overrightarrow{n}=0$

Итак, мы получаем: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{E^{-}}=0$

Комбинируя этот результат со вторым уравнением Максвелла, мы получаем:

\vec{\nabla} . \vec{Е} "=" \frac{ϱ}{ε_{0}} \Rightarrow \vec{н} . \vec{Е^{+}} "=" \frac{ϱ_{С}}{ε_{0}}

$\overrightarrow{ \nabla }. \overrightarrow{E} = \frac{ \varrho }{ \varepsilon _{0}} ~~ \Rightarrow ~~\overrightarrow{n}. \overrightarrow{E^{+}}= \frac{ \varrho_{S}}{\varepsilon _{0}}$

Итак, нельзя исключать возможность поверхностного распределения заряда: $\varrho_{S}$ . Однако причина не может быть найдена в условиях скачка уравнений Максвелла. Если есть плотность заряда, то по другим причинам. В предоставленной вами статье Джексона есть три из них:

Для поддержания потенциала вокруг цепи.
Для обеспечения электрического поля в пространстве вне проводников.
для обеспечения замкнутого потока тока.

Дол · Answer 2

Этот вопрос немного сложен, потому что он говорит, что вы ищете канонический ответ. Однако канонический ответ содержится в статье Джексона 1996 года «Поверхностные заряды на проводах и резисторах цепи играют три роли», о которой вы уже знаете. Итак, канонический ответ ясен, и вы его уже знаете.

То, что вы, кажется, на самом деле хотите, - это понять, где ваш аргумент терпит неудачу. Вы уже знаете канонический ответ, но у вас есть четкий и убедительный аргумент против.

Проблема в том, что в своем анализе вы делаете два ключевых допущения, применимых только в стационарном состоянии, а затем спрашиваете:

если это так, то как может возникнуть поверхностная плотность заряда на поверхности проводящего провода?

В самом деле, учитывая ваши два предположения об установившемся состоянии, поверхностная плотность заряда не может расти, потому что предполагается, что она уже полностью накопилась! Рассмотрим конкретные предположения:

так как ∇⋅𝐽⃗=0 для установившегося тока

Это большая проблема. По уравнению неразрывности $\nabla \cdot \vec J +\partial_t \rho=0$ , где $\partial_t=\frac{\partial}{\partial t}$ . За время накопления поверхностного заряда $\partial_t \rho \ne 0$ и поэтому $\nabla \cdot \vec J \ne 0$ . Таким образом, это условие явно нарушается при накоплении заряда.

Ты использовал $\nabla \cdot \vec J = 0$ в двух местах. Один из них заключался в том, что плотность заряда везде в проводе равна нулю, поэтому это условие больше не выполняется. Перед установившимся состоянием, пока поверхностные заряды еще накапливаются, внутри проводника фактически может быть ненулевая плотность заряда. Во-вторых, вы использовали это, чтобы рассуждать, что $\nabla \cdot \vec E = \vec J \cdot \nabla (1/\sigma)$ (обратите внимание, я использую $1/\sigma$ для удельного сопротивления, так как я использую $\rho$ для плотности заряда). Таким образом, это требование также не выполняется в течение нестационарного периода накопления поверхностного заряда.

плотность тока $\vec J$ всегда в осевом направлении (даже вблизи или на поверхности), в то время как $\nabla \rho$ всегда должен быть направлен радиально наружу вблизи или на поверхность

Тот факт, что плотность тока находится в осевом направлении, не является общим законом природы. Проводник является изотропной средой, поэтому нет естественно предпочтительного направления, и ток может течь в любом направлении, на которое указывает поле E. Тот факт, что плотность тока находится в осевом направлении, вытекает из условия, что $\nabla \cdot \vec J = 0$ что, как обсуждалось выше, не выполняется при накоплении поверхностных зарядов.

Во время накопления поверхностных зарядов плотность тока будет иметь составляющую, нормальную к поверхности. Именно эта составляющая приводит к накоплению заряда на поверхности проводника. Если вы предполагаете, что его нет, то вы предполагаете, что заряд не может быть накоплен.

Таким образом, в целом, вы правы в том, что, учитывая допущения об установившемся состоянии, невозможно какое-либо накопление поверхностного заряда. За это время, поскольку $\partial_t \rho \ne 0$ , предположения об установившемся состоянии обязательно нарушаются. В частности, внутри проводника может быть ненулевая плотность заряда, а плотность тока будет иметь составляющую, нормальную к поверхности. Эти два факта позволяют увеличивать поверхностную плотность заряда.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Теперь, после того, как поверхностные заряды накопились и мы находимся в устойчивом состоянии, у вас осталась одна проблема. Конкретно,

Итак, это означает скалярное произведение $\nabla \cdot \vec E = \vec J \cdot \nabla \rho$ всегда должна равняться нулю на поверхности или вблизи нее, и поэтому по закону Гаусса плотность поверхностного заряда на поверхности также всегда должна равняться нулю.

Это просто ошибочный вывод о поверхности проводника. Рассмотрим изолированный проводник, помещенный во внешнее поле Е. Такой проводник в электростатическом состоянии имеет поверхностное распределение заряда, которое точно нейтрализует внешнее Е-поле (т. е. он действует как клетка Фарадея), так что внутри Е-поля нет. В электростатическом состоянии, по определению, $\vec J=0$ и поэтому $\vec J \cdot \nabla (1/\sigma) = 0$ , хотя поверхностный заряд отличен от нуля. Итак, вопреки вашему утверждению, закон Гаусса вместе с $\vec J \cdot \nabla (1/\sigma) = 0$ не означает, что поверхностный заряд равен нулю.

Проблема, похоже, в том, что $\nabla (1/\sigma)$ бесконечен и $\vec J$ равен нулю. Так что их произведение не определено. В этом случае оно оказывается конечным, но это уравнение бесполезно для его открытия.

Спасибо за ответ. Я знаю, что существует короткий начальный период, когда допущение об устойчивом состоянии не применяется, и, следовательно, $\nabla \cdot J\neq0$ . Однако предположим, что мы подождем, пока этот переходный период закончится. Как только переходный период закончится, у нас должно быть это $\nabla \cdot J=0$ (для больших $t$ ). Именно в этот момент $\nabla \cdot \vec{E}=\vec{J}\cdot \nabla \rho$ . Но для всех точек поверхности любой проволоки скалярное произведение $\vec{J}\cdot \nabla \rho$ вроде бы исчезает. Следовательно, мы должны иметь $\nabla \cdot \vec{E}=0$ . Так что никакого поверхностного заряда. Хотя очевидно, что я ошибаюсь. Мой вопрос ...
Извините, я все еще писал свой ответ, но меня прервали, поэтому вы прокомментировали неполный ответ. Пожалуйста, посмотрите сейчас и посмотрите, отвечает ли это на ваш вопрос.
можно кратко резюмировать следующим образом: как может скалярное произведение $\vec{J}\cdot \nabla \rho$ никогда не исчезать на поверхности проводника с током? Если можно показать, что это скалярное произведение не обращается в нуль на поверхности , то у нас может быть поверхностный заряд. В противном случае в стационарных условиях поверхностный заряд, по-видимому, не может существовать?
Я немного отредактировал свой первоначальный вопрос, чтобы было более ясно, что меня интересует только поверхностный заряд в устойчивом состоянии и что я понимаю, что заряд может накапливаться на поверхности в переходный период, когда $\nabla \cdot J \neq 0$ . Я не понимаю, как этот заряд поддерживается в устойчивом состоянии, пока $\vec{J} \cdot \nabla \rho =0$ на поверхности
@SalahTheGoat Я добавил правку, чтобы объяснить эту проблему.

УФ фотон · Answer 3

Есть и другой взгляд на проблему, указанный Александром Маркусом в статье 1941 года «Электрическое поле, связанное с постоянным током в длинном цилиндрическом проводнике» . Подобно бумаге Джексона, он помещает проводник вдоль оси цилиндра далеко, чтобы иметь обратный путь для тока.

Поскольку это стационарная задача, он рассматривает ее как «интересный пример уравнения Лапласа». Используя разделение переменных в цилиндрической координате, он предполагает линейное решение по z. Затем он смотрит на граничные условия. Следуя статье (в единицах Гаусса).

В "=" (А г + Б) (α бревно р + β)

$V=(Az+B)(\alpha \log{r}+\beta)$

Внутри провода $\alpha$ можно установить на 0 и $\beta$ до 1.

Взяв производную для нахождения электрического поля, мы видим, что Е-поле является постоянным и направлено вдоль провода, а внутри провода нет радиальной составляющей Е.

\frac{- г В}{г Z} "=" Е_{1} "=" - А_{1}

$\frac{-dV}{dZ}= E_1 =-A_1$

Где нижние индексы 1 и 2 находятся внутри и снаружи провода, и мы также можем сказать, если сопротивление провода на единицу длины постоянно, что $-A_1=RI$ или $J=\sigma E$ как мы ожидаем.

Вне провода,

В_{2} "=" А_{2} г (α бревно р + β)

$V_2=A_2z(\alpha\log{r}+\beta)$

Сдача $\alpha$ =1 и оценивая граничные условия $\beta=-log(r_1)$ давать $A_2=-log(\frac{r_0}{r_1})$

Итак, внутри провода

В_{1} "=" - Е_{1} г

$V_1=-E_1z$

вне провода

В_{2} "=" - \frac{Е_{1} г}{л о г \frac{р_{0}}{р_{1}}} л о г \frac{р}{р_{1}}

$V_2=-\frac{E_1z}{log\frac{r_0}{r_1}}log\frac{r}{r_1}$

Поскольку потенциалы и электрические поля найдены, мы также можем найти поверхностный заряд, используя гауссовский дот.

(\frac{г В_{1}}{г р})_{р "=" р_{0}} - (\frac{г В_{2}}{г р})_{р "=" р_{0}} "=" 4 π о

$(\frac{dV_1}{dr})_{r=r_0}-(\frac{dV_2}{dr})_{r=r_0}=4\pi\sigma$

который дает

о "=" \frac{Е_{1} г}{4 π л о г (\frac{р_{0}}{р_{1}})}

$\sigma= \frac{E_1z}{4\pi log(\frac{r_0}{r_1})}$

Глядя на проблему с этой точки зрения, она согласуется с заявлением Джексона о том, что поверхностный заряд необходим для установления потенциалов вне провода.

Также в устойчивом состоянии, если вы можете найти потенциалы внутри и снаружи провода, вы можете найти поверхностную плотность заряда. В Американском журнале физики есть несколько педагогических статей, в которых это делается численно . При этом также можно увидеть, как распределяется заряд на изгибах провода. Если предпринять соответствующие временные шаги, можно увидеть переходный процесс того, как заряд перемещается и расслабляется при нажатии переключателя.

@ UVphoton: Я думаю, вам следует упомянуть, что вы работаете в гауссовских единицах.

Ян Лалински · Answer 4

Локальная формулировка закона Ома

Дж "=" о Е

$\mathbf j = \sigma \mathbf E$ не всегда точно правильно. Он применим внутри металлического проводника или другой так называемой линейной среды, где другие силы, воздействующие на подвижный заряд, пренебрежимо малы по сравнению с электрической силой.

Но когда подвижная заряженная частица находится очень близко к поверхности проволоки, на нее действует дополнительная сила, которой нельзя пренебречь: сила связи, исходящая от тела проволоки, выталкивающая частицу обратно в проводящую среду (в направлении, перпендикулярном поверхности ). Эта сила не позволяет заряженным частицам, образующим ток, выпрыгнуть из провода в непроводящую среду. В противном случае они бы выскочили, потому что все отталкивают друг друга.

С редукционистской/микроскопической точки зрения, эта сила принуждения является результатом миллионов микроскопических сил притяжения и отталкивания, вызванных всеми другими заряженными частицами в системе, и присутствует и отлична от нуля почти везде, как внутри, так и снаружи провода.

Однако в макроскопической электромагнитной теории эта сила актуальна только тогда, когда заряженная частица находится очень близко к границе, где характеристики среды меняются в зависимости от положения. В данном случае такой границей является поверхность провода: обычно провод притягивает заряд значительно сильнее, чем непроводящая среда вне провода. Эта ограничивающая сила обычно не включается в макроскопическое электрическое поле. $\mathbf E$ , потому что он определяется не макроскопическим распределением электрического заряда, а типом материалов на границе. Таким образом, сила связи в макроскопической ЭМ теории является независимой силой, действующей в дополнение к силе $q\mathbf E$ благодаря макроскопическому электрическому полю.

Таким образом, «фиксированный» закон Ома на поверхности провода будет выглядеть примерно так:

Дж "=" о^{'} Е + о^{'} С

$\mathbf j = \sigma' \mathbf E + \sigma' \mathbf C$

где $\sigma'$ – эффективная проводимость на поверхности провода (которая может отличаться от проводимости внутри провода) и $\mathbf C$ характеризует силу связи на единицу заряда, которая удерживает заряды в отрицательно заряженном поверхностном слое проволоки связанными с проволокой.

Давайте подумаем об участке поверхности, который заряжен отрицательно. Таким образом, электрическое поле непосредственно над пятном в непроводящей среде направлено в сторону проводника, и электрическое поле, действующее на заряды в поверхностном слое, хотя и может быть несколько меньше, чем поле чуть выше, будет иметь такое же направление. Таким образом, отрицательный заряд в этом поверхностном слое будет испытывать электрическую силу, выталкивающую его из провода. Несмотря на это, обычно отрицательный заряд не течет в этом направлении. Здесь мы видим обычный закон Ома $\mathbf j = \sigma \mathbf E$ не действует в этом поверхностном слое.

То есть, если не происходит полевая эмиссия или тепловая эмиссия. Например, автоэлектронная эмиссия означает, что электрическое поле в поверхностном слое настолько велико, что преодолевает максимально возможное значение силы связи, которую проводник может оказывать на единицу заряда, и из проводника начинают выскакивать отрицательные заряды. Однако это происходит только тогда, когда электрическое поле направлено на провод и является достаточно сильным, что может быть достигнуто путем повышения напряжения где-либо или концентрации достаточного количества отрицательных зарядов на изолированном проводнике. Обычно автоэмиссия начинается на самых острых краях проводника, потому что электрическое поле там обычно самое сильное. Однако даже при появлении тока в обычно непроводящей среде (вакууме) не следует ожидать, что он подчиняется закону Ома.

Ритил · Answer 5

Я думаю, что в отличие от ответов, изложенных выше, должно быть другое объяснение. Рассмотрим постоянно текущий катодный луч. В области вокруг него обязательно будет создаваться электрическое поле, но в отличие от электростатики, это происходит не из-за статических, а динамических зарядов. Точно так же я думаю, что в конкретном поперечном сечении толстого провода определенно будет неравномерное распределение заряда в проводе, но не статический заряд, а заряд, обусловленный текущими электронами. Таким образом, плотность тока в проводе будет неравномерной, что свидетельствует о неправильности расчетов. Однако я думаю, что плотность поверхностного заряда является статической и нужно учитывать и ее вклад в электрическое поле.

Как указывает Р.В. Бёрд, поверхностная плотность заряда и распределение плотности тока также будут изменяться по длине без нарушения 1-го закона Кирхгофа.

Это не дает ответа на вопрос. Когда у вас будет достаточно репутации, вы сможете комментировать любой пост ; вместо этого предоставьте ответы, которые не требуют разъяснений от спрашивающего . - Из обзора

ХЕММИ · Answer 6

Я согласен с ответом @Shaktyai. Я надеюсь, что то, что я написал здесь, согласуется с ответом Шактьяи, но если есть какие-то недоразумения, это моя ответственность.

Предполагая, что установившееся состояние достигнуто, рассмотрим простую задачу о соединении конденсатора и батареи. .

$\vec{E}$ и $\vec{J}$ на внутренних проводах и пластинах исчезают. Я думаю, что проблема с конденсатором и батареей — особый случай беспокойства SalahTheGoat. Поскольку это частный случай, теорема, которую он или она написали, должна применяться к этой проблеме, даже если $\vec{J}=0$ . Однако известно, что заряд накапливается на поверхностях проводников конденсаторов. Поэтому неверно говорить: «Поверхностный заряд на проводнике с током невозможен».

Лукас Бальдо · Answer 7

Вы упускаете важную часть головоломки. Для простоты рассмотрим провод с однородным удельным сопротивлением. Для постоянного тока заряды должны двигаться с постоянной скоростью и вдоль провода (по крайней мере, макроскопически). Это означает, что суммарные силы, действующие на них, должны быть равны нулю.

Первая сила, которую следует рассмотреть, — это сила Лоренца, обусловленная полем, создаваемым током. Предполагая равномерную плотность тока в проводе, находим, что магнитное поле внутри него определяется выражением

\begin{aligned} Б (р) & "=" \frac{{мю}_{0} я}{2 π р} \hat{ф} \\ (1) & "=" \frac{{мю}_{0} р}{2} Дж \hat{ф} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{B}(r) &= \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \hat{\mathbf{\phi}} \\ &= \frac{\mu_0 r}{2} j \hat{\mathbf{\phi}}. \tag{1} \end{align}$ Это создает силу Лоренца на зарядах:

\begin{aligned} Ф_{Б} & "=" р в \times Б \\ "=" - Дж \times Б \\ (2) & "=" Дж Б_{ф} \hat{р} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{F}_B &= \rho ~ \mathbf{v} \times \mathbf{B} \\ &= -\mathbf{j} \times \mathbf{B}\\ &= j~B_\phi~\mathbf{\hat{r}} \tag{2} \end{align}$ Если на заряды не действуют другие силы, они будут двигаться наружу, накапливаясь на поверхности проволоки. Через некоторое время это накопление заряда создаст электрическое поле в радиальном направлении, которое будет противодействовать силе Лоренца. В устойчивом состоянии две силы компенсируются, что означает, что электрическое поле должно быть

\begin{aligned} Е & "=" - \frac{Ф_{Б}}{р} \\ (2) & "=" - \frac{{мю}_{0} р {Дж}^{2}}{2 р} \hat{р} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{E} &= -\frac{\mathbf{F}_B}{\rho} \\ &= -\frac{\mu_0 r j^2}{2 \rho} \hat{\mathbf{r}}. \tag{2} \end{align}$

По расхождению этого электрического поля вы обнаружите, что оно индуцирует плотность заряда внутри провода

\begin{aligned} р & "=" \frac{\nabla \cdot Е}{ϵ_{0}} \\ "=" - \frac{1}{ϵ_{0}} \nabla \cdot (\frac{{мю}_{0} р {Дж}^{2}}{2 р} \hat{р}) \\ "=" - \frac{{мю}_{0} {Дж}^{2}}{2 ϵ_{0}} (\nabla \cdot (\frac{р}{р} \hat{р})) \\ "=" - \frac{{мю}_{0}}{2 ϵ_{0}} (\frac{1}{р} \partial_{р} (\frac{р {Дж}^{2}}{р})) \\ "=" - \frac{{мю}_{0}}{2 р ϵ_{0}} (\frac{1}{р} \partial_{р} (р {Дж}^{2}) + р {Дж}^{2} (\partial_{р} \frac{1}{р})) \\ (4) & "=" - \frac{{мю}_{0}}{2 р ϵ_{0} р} ({Дж}^{2} + 2 р Дж \partial_{р} Дж - \frac{р {Дж}^{2} р_{р}}{р}) \end{aligned}

$\begin{align} \rho &= \frac{\nabla \cdot \mathbf{E}}{\epsilon_0}\\ &= -\frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot (\frac{\mu_0 r j^2}{2 \rho} \hat{\mathbf{r}})\\ &= -\frac{\mu_0 j^2}{2 \epsilon_0} \left(\nabla \cdot (\frac{r}{\rho} \hat{\mathbf{r}}) \right) \\ &= -\frac{\mu_0}{2 \epsilon_0} \left(\frac{1}{r}\partial_r (\frac{r j^2}{\rho}) \right)\\ &= -\frac{\mu_0}{2 r \epsilon_0}\left(\frac{1}{\rho}\partial_r( r j^2) + r j^2 (\partial_r \frac{1}{\rho}) \right)\\ &= -\frac{\mu_0}{2 r \epsilon_0 \rho}\left(j^2 + 2 rj \partial_r j - \frac{r j^2 \rho_r}{\rho} \right) \tag{4} \end{align}$

Затем мы можем решить это дифференциальное уравнение, чтобы получить $\rho$ ... (будет сделано)

Поскольку провод должен иметь нейтральный заряд, мы должны иметь противоположный заряд на поверхности, так что для данного поперечного сечения общий заряд равен нулю:

\begin{aligned} (5) & 2 π \int_{0}^{р} (π р^{2}) р р (р) г р + (2 π р) о & "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} 2\pi\int_0^R(\pi R^2) r \rho(r) dr + (2 \pi R) \sigma &= 0. \tag{5} \end{align}$

Наконец, находим плотность заряда на поверхности провода: (необходимо сделать)

\begin{aligned}  \end{aligned}

$\begin{align} %\sigma = \frac{\mu_0 R j^2}{2}. \tag{6} \end{align}$

Обратите внимание, что этот поверхностный заряд создается перемещением зарядов из-за магнитного поля, индуцированного током. Нет необходимости в переменном сопротивлении. Более того, вы можете почувствовать противоречие, увидев конечную плотность заряда внутри проводника. Это связанный заряд, который появляется потому, что мы не имеем дело с электростатикой, так как есть конечный ток. По сути, это тот же механизм эффекта Холла , с той особенностью, что здесь поле, порождающее его, вызвано током в том же проводе.

Проводник с током не имеет нейтрального заряда. Для поддержания однородного продольного поля внутри проволоки должен быть градиент заряда на единицу длины. Одна половина провода будет иметь чистый положительный заряд, а другая половина - отрицательный. Я ожидал бы, что радиальное распределение этого избыточного заряда будет зависеть от магнитных эффектов, но любой небольшой выбранный объем должен подчиняться закону Гаусса.
@RWBird, что ты имеешь в виду, половина провода имеет положительный заряд? Какая половина?
Половина, которая подключена к положительной клемме источника питания
Кажется, я не знаю, о каком явлении вы говорите. Не могли бы вы дать мне несколько ссылок?
Непрерывность потока в однородном проводе требует, чтобы ток и продольное электрическое поле были однородными. Однородное поле требует равномерного градиента распределения заряда вдоль провода. Это означает, что на той половине провода, которая подключена к отрицательной клемме источника питания, будут лишние электроны, а на другой половине будет недостаток электронов. Закон Гаусса требует, чтобы линии электрического поля покидали внешнюю поверхность провода в положительной половине и возвращались в отрицательную половину.
«Однородное поле требует равномерного градиента распределения заряда вдоль провода». Насколько это верно? Однородное поле имеет нулевую расходимость, что приводит к нулевой плотности заряда и градиенту. Опять же, не могли бы вы указать какую-нибудь ссылку, где получено это распределение заряда из-за постоянного тока?
Бесконечное однородное поле имеет нулевую дивергенцию. Как еще вы могли бы объяснить однородное поле в проводе, который может иметь изгибы или петли? Должно быть изменение в распределении заряда по длине провода.
Отлично, не могли бы вы указать мне книгу или газету, где я могу узнать больше об этом?
Вчера я сделал краткий поиск и не смог найти четкого анализа этой идеи.
Я понимаю. Спасибо за ваше время. Если в какой-то момент кто-то предоставит надежный источник этого эффекта, я с радостью обновлю свой ответ с соответствующими исправлениями.
Если вы хотите доверия, подумайте об этом. Какое распределение заряда создаст это поле?
@RWBird см. книгу А. Ассиса: ifi.unicamp.br/~assis/The-Electric-Force-of-a-Current.pdf
Вы не используете хорошую формулу для магнитного поля. Внутри толстого линейного провода магнитное поле равно: $Б_{ф} (р) "=" \frac{{мю}_{0} я_{0} р}{2 π а^{2}}$ $B_{ \phi }(r)= \frac{\mu_0 I_{0} r}{2 \pi a^{2}}$ Сила $F_{B}= \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{B}$ . в вашей формуле лишний минус.
$F=\rho \overrightarrow{E} =-\overrightarrow{F_{B}}$ : в вашем тексте пропущена плотность заряда.
@Shaktyai Спасибо за ваш вклад. Я думаю, что мое уравнение такое же, как ваше, так как $I_0 = j \pi a^2$ . Я согласен с отсутствующей плотностью заряда, и я пересмотрю это, а также знак
@Lucas Это больше похоже на опечатки, чем на серьезные ошибки.

Поверхностный заряд на проводнике с током невозможен?

СалахКоза

Гилберт

СалахКоза

ХЕММИ

СалахКоза

Ответы (7)

Шактяй

Дол

СалахКоза

Дол

СалахКоза

СалахКоза

Дол

УФ фотон

Шактяй

УФ фотон

Ян Лалински

Ритил

Миясе

ХЕММИ

Лукас Бальдо

РВ Берд

Лукас Бальдо

РВ Берд

Лукас Бальдо

РВ Берд

Лукас Бальдо

РВ Берд

Лукас Бальдо

РВ Берд

Лукас Бальдо

РВ Берд

Ян Лалински

Шактяй

Шактяй

Лукас Бальдо

Шактяй