Условие установившегося тока и применимость закона Гаусса?

Условия для установившегося тока часто задаются как

∂ р ∂ т "=" 0 а н г ∂ Дж → ∂ т "=" 0
Объединение ∂ р ∂ т "=" 0 с уравнением неразрывности ( ∇ ⋅ Дж → "=" ∂ р ∂ т ) получаем, что для установившегося тока мы должны иметь, что
∇ ⋅ Дж → "=" 0
То есть дивергенция плотности тока должна быть везде равна нулю для установившегося тока. Я не согласен с этим следствием, поскольку предположим, что у нас есть бесконечный провод с одинаковой проводимостью. о и площади поперечного сечения А проведение постоянного тока с плотностью тока Дж → . Плотность тока в каждой точке провода явно одинакова. Однако вне провода плотность тока везде равна нулю (можно считать провод погруженным в идеальный изолятор). Это означает, что на границе между проводом и его окружением Дж → испытывает прерывистое падение. Теперь мой вопрос заключается в том, действительно ли правильно говорить, что в условиях постоянного тока мы обязательно должны иметь это ∇ ⋅ Дж → "=" 0 . Это, конечно, не может быть правильным, потому что я только что использовал самый стереотипный и идеализированный пример постоянного тока (идеальный и бесконечный провод с действительно однородной проводимостью) и показал, что даже в этом чрезвычайно упрощенном и идеализированном случае мы не имеем этого ∇ ⋅ Дж → "=" 0 для всех точек пространства. и так, что здесь происходит? Кроме того, как это повлияет на распределение заряда на границе? Из закона Ома имеем, что
Е → "=" р Дж →
⇒ ∇ ⋅ Е → "=" ∇ ⋅ ( р Дж → )
Ясно, что RHS вышеперечисленного не определена на границе (оба о и Дж → ) испытывают разрывы там. Итак, что означает LHS, а именно Е → также не определена на границе. Не означает ли это из закона Гаусса, что плотность заряда на границе не определена?

Любая помощь по этим вопросам будет принята с благодарностью!

Ответы (2)

Предположим, что у нас есть бесконечная проволока радиуса а на г ось. Установившийся ток в цилиндрических координатах можно описать как

Дж → "=" Дж Θ ( а − р ) г ^ ,

где р осевое расстояние и Θ — ступенчатая функция Хевисайда .

Если взять дивергенцию этой плотности тока, то она принимает такой вид в цилиндрических координатах

∇ → ⋅ Дж → "=" 1 р ∂ ( р Дж р ) ∂ р + 1 р ∂ Дж ф ∂ ф + ∂ Дж г ∂ г .

Единственная ненулевая составляющая плотности тока равна Дж г , но не зависит от г . Мы также должны проверить, что происходит с этой дивергенцией при р "=" 0 , так как первые два члена в этой области не определены. Для этого мы могли бы интегрировать ∇ → ⋅ ( А г ^ ) в бесконечном цилиндре радиуса ε над г ось

∭ В ∇ → ⋅ ( А г ^ ) г В "=" ∬ С А г ^ ⋅ г С → "=" ∬ С А г ^ ⋅ р ^ г С "=" 0 ,

так ∇ → ⋅ Дж → "=" 0 повсюду.

Спасибо за отличный ответ! Итак, в основном мое предположение, что ∇ ⋅ Дж → не определено на границе, потому что Дж → испытывает разрыв есть просто неверное предположение? То есть дивергенция векторного поля в точке разрыва не обязательно не определена в этой точке?
В этом случае разрывом страдает Дж г компонента, но этот разрыв находится в «радиальном» направлении, и поскольку нет ∂ Дж г ∂ р производная, все работает нормально.

Я предполагаю, что функция плотности тока не определена вне провода. все точки, в которых определена функция J, не изменяются. div j =0 можно получить непосредственно из уравнений поля, когда de/dt равно 0.

возьмем дот из прямой проволоки, радиальной составляющей j вне проволоки нет. поэтому единственный поток внутри и снаружи коробки направлен в направлении провода, поэтому нулевой чистый поток и, следовательно, нулевая дивергенция

редактировать: даже учитывая, что он определен как ноль и ЕСТЬ разрыв. это все еще не доказывает, что div j не равен нулю, поскольку... как вы заявили, существует ноль j за пределами провода, что означает, что дот не будет показывать какой-либо радиальный компонент j за пределами провода

Однако еще один момент, который следует добавить, заключается в том, что закон биоцаварта для постоянных токов ... на самом деле технически недействителен. под установившимися токами я подразумеваю, что фактическая величина тока является постоянной. Однако, если направление тока изменяется, например, в катушках, происходит изменение плотности тока и, следовательно, изменение электрического поля. (плотность тока = k электрического поля), и на изгибах проводов будет фактически производиться излучение (хотя и небольшое, поэтому мы игнорируем его даже для постоянных токов)
Условие установившегося тока и применимость закона Гаусса?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v