Разомкнутые токовые петли в металлическом проводнике

Предположения:

я предполагаю, что провод в вашем вопросе имеет бесконечную длину и направлен вдоль$z$направлении, и что ваш проводник конечен в$z$направление; с границами на$z=0$и$z=a$. (См. схему ниже).

Ответ:

Тот факт, что ток не может течь в проводниках с разомкнутой цепью, действителен только для стационарных токов или случаев, когда ток может быть аппроксимирован как стационарный, например, в квазистатическом приближении .

Во-первых, давайте посмотрим, почему ток не может течь в незамкнутых проводниках для стационарных токов.

По уравнению непрерывности (т. е. по локальному сохранению заряда) имеем:

$$\oint_{\partial V} d\boldsymbol{a}.\mathbf J(\mathbf x,t) = - \frac{ d }{d t}\int_V d^3\mathbf x \ \rho(\mathbf x,t)$$ Для любой (односвязной) области пространства $V$. Теперь для стационарного тока по определению правая часть равна нулю. Что значит: $$\oint_{\partial V} d\boldsymbol{a}.\mathbf J(\mathbf x,t) = 0$$ Это не что иное, как известный токовый закон Кирхгофа , который гласит, что общий исходящий ток в любой области пространства равен нулю (т.е. входящий ток = исходящий ток). Тот факт, что ток не может течь в разомкнутой цепи, является прямым следствием этого закона. Посмотрите на схему ниже; потому что для разомкнутой цепи исходящий ток от $S_2$равен нулю (цепи там нет), проходящий ток по проводу ( $S_1$) также равен нулю. Как видите, этот закон не обязательно верен для нестационарных токов. Предположение, что правая часть первого уравнения равна нулю, имеет решающее значение для этого результата. Но что это означает физически? Вы можете легко убедиться, что правая часть нашего первого уравнения есть не что иное, как скорость, с которой общий заряд внутри объема


$V$уменьшается со временем. Это дает интуитивное представление о том, что на самом деле представляет собой стационарный ток (для которого он равен нулю). Стационарный ток — это ток, при котором заряд не испытывает ни сжатия, ни расширения; каждый заряд примерно занимает положение предыдущего заряда, так что даже при наличии тока заряды не сжимаются и не расширяются. Это не то, что происходит в вашем конкретном вопросе. В вашем вопросе обвинения выдвигаются в $z$направлении, колеблясь взад и вперед, когда ток в вышеуказанном проводе меняет направление. Поскольку проводник конечен в $x$направлении, заряды должны сжаться вблизи границ проводника при $z=0$и $z=a$. Это автоматически нарушает предположение о стационарном токе; это означает, что закон тока Кирхгофа не выполняется, и в проводнике с разомкнутой цепью действительно может быть ненулевой ток. Примечания: 1- Эта проблема очень похожа на проблему сохранения тока в конденсаторах (даже если простой конденсатор представляет собой просто параллельные пластины, между которыми ничего нет, как может проходить ток?). Ответ на эту проблему точно такой же, как и у вас; хотя это обычно решается с помощью токов смещения; что в основном представляет собой тот же подход, потому что изменяющаяся во времени плотность заряда (и, следовательно, локальное сжатие и расширение зарядов) приводит к ненулевому току смещения. Вы можете увидеть это, взяв расхождение тока смещения и используя закон Гаусса:

$$\boldsymbol {\nabla}.\mathbf J_d(\mathbf x,t) = \boldsymbol {\nabla}.\bigg(\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\mathbf E(\mathbf x,t)}}{\partial t} \bigg)=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol {\nabla}.{\mathbf E(\mathbf x,t)})$$ $$\boldsymbol {\nabla}.\mathbf J_d(\mathbf x,t) =\mu_0 \frac{\partial \rho(\mathbf x,t) }{\partial t}$$ Вы можете увидеть больше этого в этой ссылке .

2- Вы можете легко утверждать, что индуцированное электрическое поле из-за изменяющегося во времени магнитного поля указывает вдоль $z$направление. Мы можем приблизительно предположить, что магнитное поле указывает в азимутальном направлении (как вы показали на своей диаграмме), используя обозначение фазора, это $\mathbf B = B_0(\rho,\phi) \boldsymbol {\hat \phi}$. Я предполагаю, что $\mathbf B$не зависит от $z$в качестве приближения, грубо предположив, что все еще существует некоторая трансляционная симметрия в $z$направлении, несмотря на то, что проводник конечен. По закону Ампера, $\boldsymbol {\nabla} \times \mathbf B = \mu_0 \sigma \mathbf E + i\omega \mu_0 \epsilon_0 \mathbf E$внутри проводника. Используя выражение для ротора в цилиндрических координатах для $\mathbf B = B_0(\rho,\phi) \boldsymbol {\hat \phi}$Вы можете легко увидеть, что единственный оставшийся компонент - это $z$компонент; означающий, что $\mathbf E$также указывает на $z$направление по $\mathbf E = \frac 1{\mu_0 \sigma+i\omega \mu_0 \epsilon_0}\boldsymbol {\nabla} \times \mathbf B$.
Я упоминаю об этом, потому что это исключает возможность образования (стационарных) токовых петель в проводнике, поскольку $\mathbf J=\sigma \mathbf E \sim \hat {\mathbf {z}}$. Ток указывает примерно в том же направлении, что и провод выше, и должен быть связан со сжатием заряда вблизи границ.

3. Тот факт, что закон Кирхгофа для нестационарных токов нарушается, очень важен для высокочастотных цепей (например, микроволновых цепей). В этих устройствах заряды сжимаются и расширяются вдоль проводников, потому что поля колеблются со временем так быстро, что заряды «не успевают за полями». В результате ток в высокочастотной линии передачи может меняться в зависимости от положения (вопреки закону Кирхгофа).