Привлекательное кулоновское взаимодействие при обмене виртуальными частицами?

Короткий ответ: принцип неопределенности Гейзенберга допускает притяжение. Предположим, у вас есть два противоположных заряда, и тот, что слева, испускает виртуальный фотон с импульсом, направленным влево. Левый заряд начинает двигаться к заряду справа. А где же виртуальный фотон? Его импульс — это некоторая точная величина, направленная влево, поэтому в классическом понимании мы ожидаем, что в более позднее время мы обнаружим виртуальный фотон в новом положении левее исходного положения заряда, который его испустил.

Но из-за HUP, если он находится в состоянии точного импульса, его положение становится бесконечно неопределенным. Следовательно, существует одинаковая вероятность найти новое положение фотона с левым импульсом справа от того места, где он был испущен (т. е. там, где расположен другой заряд), как и найти его слева. И это происходит, правый заряд может поглотить этот виртуальный фотон и его направленный влево импульс, и вот два заряда движутся навстречу друг другу.

Теперь появилась новая, более странная проблема. Что же тогда отличает притяжение от отталкивания? Кажется, что две частицы имеют равные шансы сделать то и другое, независимо от заряда. Разрешение этого в КТП не поддается аналогии с чем-либо, с чем мы знакомы, и зависит от того факта, что состояния квантовых частиц описываются волновой-функция вместо набора координат, как мы делаем с классическими частицами. Четность волновой функции для наших двух зарядов будет либо четной, либо нечетной, в зависимости от того, имеют ли заряды одинаковый или противоположный знак соответственно. Когда волновая функция виртуального фотона интерферирует с волновой функцией зарядов, возникающий в результате паттерн конструктивных и деструктивных интерференций в решающей степени зависит от того, является ли волновая функция зарядов четной или нечетной. В четном случае существует более разрушительная интерференция между двумя (одинаковыми) зарядами и конструктивная интерференция за пределами этой области, а это означает, что теперь заряды с большей вероятностью будут находиться в положениях с более широким разделением. Обратное происходит, если частицы имеют противоположный заряд.

Квантово-механическое явление, лежащее в основе макроскопического эффекта, который мы наблюдаем и описываем как притяжение-отталкивание, настолько далеко от классических представлений о процессе, что любой здравомыслящий физик когда-либо мог себе представить. Что касается меня, то мое первое знакомство с идеями, описанными выше, произошло, когда я действительно начал верить Бору, который сказал: «Те, кто не был шокирован, впервые столкнувшись с квантовой теорией, не могли ее понять». В QM вы ничего не понимаете. Ты просто привыкаешь к ним.

Давайте переформулируем вопрос ОП следующим образом:

Если сила между 2 зарядами$q_1$и$q_2$в КТП опосредуется виртуальной частицей, несущей силу, перемещающейся туда и обратно между зарядами, ср. Рис. 1, не будет ли сохранение импульса в каждом столкновении/вершине всегда приводить к отталкивающим зарядам? Как такая теория может объяснить притяжение?

 --------------------------- q_1
     |      /    |   \
     |     /     |    \
     |    /      |     \
     |   /       |      \
 --------------------------- q_2

$\uparrow$Рис. 1. Типичная лестничная диаграмма. 2 стороны составляют 2 заряда$q_1$и$q_2$а ступени - виртуальные частицы, несущие силу.

Это хороший вопрос!

TL;DR: Несколько упрощенный ответ заключается в том, что существуют также виртуальные переносящие силу (анти)частицы, движущиеся назад во времени, которые притягивают, а не толкают [1]. Более того, КТП рассматривает взаимодействия притяжения и отталкивания единым образом в том смысле, что правило Фейнмана для вершины взаимодействия пропорционально заряду, и это работает аналогичным образом для каждого знака заряда.

Попробуем проиллюстрировать это на простой модели QFT:

1. Будем для простоты считать, что переносящее силу поле является скалярным со спином 0/a. [Оказывается, что это поменяет местами то, что отталкивает, и то, что притягивает по сравнению с обычным взаимодействием E&M со спином-1, т. е. противоположные заряды отталкиваются, а подобные изменения притягиваются [2], но здесь важно то, что притяжение все равно будет. случае объяснить!]

2. Для простоты мы будем моделировать заряды как точечные частицы, а не как поля.

3. Мы повернем Вика к евклидову пространству-времени, чтобы избежать сингулярных пропагаторов.

Статистическая сумма становится$^1$

$$\begin{align} &e^{-\frac{1}{\hbar}W_c[J]}\cr ~=~~& Z[J]\cr ~=~~&\int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{1}{\hbar} \int\! d^4x \left(-\frac{1}{2}\phi(-\partial_t^2 -\vec{\nabla}^2+m^2)\phi +J\phi\right)\right\} \cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& \exp\left\{\frac{1}{2\hbar}\int\! d^4x\int\! d^4x^{\prime}~J(x)G(x\!-\!x^{\prime})J(x^{\prime}) \right\}\tag{1}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Four.}\cr\text{transf.}\end{array}}{\sim}& \exp\left\{\frac{1}{2\hbar}\int\! dt \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \int\!dt^{\prime}\frac{d^3k^{\prime}}{(2\pi)^3}~\tilde{J}(\vec{k},t)\tilde{G}(\vec{k}\!-\!\vec{k}^{\prime},t\!-\!t^{\prime})\tilde{J}(\vec{k}^{\prime},t^{\prime}) \right\} \tag{2}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Four.}\cr\text{transf.}\end{array}}{\sim}& \exp\left\{\frac{1}{2\hbar}\int\! \frac{d\omega}{2\pi}d^3r \int\!\frac{d\omega^{\prime}}{2\pi}d^3r^{\prime}~\hat{J}(\vec{r},\omega)\hat{G}(\vec{r}\!-\!\vec{r}^{\prime},\omega\!-\!\omega^{\prime})\hat{J}(\vec{r}^{\prime},\omega^{\prime}) \right\},\tag{3} \end{align}$$

где двухточечная корреляционная функция/ функция Грина

$$\begin{align} G(x)~=~&\frac{m}{4\pi^2|x|} K_1(m|x|), \cr (-\partial_t^2 -\vec{\nabla}^2+m^2)G(x)~=~&\delta^4(x),\end{align}\tag{1}$$

$$\begin{align}\tilde{G}(\vec{k},t)~=~& -\frac{\sinh(|t|\sqrt{k^2+m^2})}{2\sqrt{k^2+m^2}}, \cr (-\partial_t^2 +k^2+m^2)\tilde{G}(\vec{k},t)~=~&\delta(t), \end{align}\tag{2}$$

$$\begin{align}\hat{G}(\vec{r},\omega) ~=~&\frac{e^{-r\sqrt{\omega^2+m^2}}}{4\pi r}, \cr (-\vec{\nabla}^2+\omega^2+m^2)\hat{G}(\vec{r},\omega)~=~&\delta^3(\vec{r}), \end{align}\tag{3}$$

Мы уже можем сделать 2 замечания:

1. Из уравнения (2) мы видим, что 3-импульс действительно сохраняется в каждой вершине.

2. Из уравнения (3) мы начинаем узнавать форму потенциала Юкавы , ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

Оба наблюдения становятся более ясными в следующем.

    q_1
     |  
     |   
     |   
     |  
    q_2

$\uparrow$Рис. 2. Только 1 диаграмма Фейнмана вносит вклад в нашу простую модель КТП. Он состоит из 2 источников и 1 пропагатора. 2 обвинения$q_1$и$q_2$разделить ВСЕ свои 3-импульсы с виртуальной частицей-переносчиком силы.

• Даны 2 точечных источника дельта-функции Дирака в пространстве положений $$\begin{align} J(\vec{r},t)~=~&q_1\delta^3(\vec{r}\!-\!\vec{r}_1(t)) +q_2\delta^3(\vec{r}\!-\!\vec{r}_2(t)),\tag{1}\cr \tilde{J}(\vec{k},t)~=~&q_1 e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}_1(t)} +q_2e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}_2(t)},\tag{2} \end{align}$$ интегрированная по времени свободная энергия (без учета самодействий) равна $$\begin{align} -W_c[J]~\sim~&\frac{1}{2}\int\! d^4x\int\! d^4x^{\prime}J(x)G(x\!-\!x^{\prime})J(x^{\prime}) \cr ~=~&q_1q_2 \int\! dt_1\int\! dt_2~G(\vec{r}_1(t_1)\!-\!\vec{r}_2(t_2),t_1\!-\!t_2) \tag{1}\cr ~\approx~& q_1q_2 \int\! d\bar{t}~\underbrace{\hat{G}(\vec{r}_1(\bar{t})\!-\!\vec{r}_2(\bar{t}),\omega\!=\!0)}_{\text{Yukawa potential}},\tag{3} \end{align}$$ где в последнем равенстве мы (i) предположили, что 2 точечных заряда тяжелые/неподвижные, и мы (ii) изменили временные координаты $$\bar{t}~:=~\frac{t_1+t_2}{2}, \qquad \Delta t~:=~t_1-t_2.$$

Заметим, что точечный заряд, локализованный в позиционном пространстве, полностью делокализован в импульсном пространстве, и наоборот, в соответствии с HUP .

• Даны 2 точечных источника дельта-функции Дирака в импульсном пространстве. $$\begin{align} \tilde{J}(\vec{k},t)~=~&q_1(2\pi)^3\delta^3(\vec{k}\!-\!\vec{k}_1(t)) +q_2(2\pi)^3\delta^3(\vec{k}\!-\!\vec{k}_2(t)),\tag{2}\cr J(\vec{r},t)~=~&q_1 e^{-i\vec{r}\cdot\vec{k}_1(t)} +q_2e^{-i\vec{r}\cdot\vec{k}_2(t)},\tag{1} \end{align}$$ интегрированная по времени свободная энергия (без учета самодействий) равна $$\begin{align} -W_c[J]~\sim~&\frac{1}{2}\int\! d^4x\int\! d^4x^{\prime}J(x)G(x\!-\!x^{\prime})J(x^{\prime}) \cr ~=~&q_1q_2 \int\! dt_1\int\! dt_2~\tilde{G}(\vec{k}_1(t_1)\!-\!\vec{k}_2(t_2),t_1\!-\!t_2) \tag{2}\cr ~\approx~& q_1q_2 \int\! d\bar{t}~\frac{1}{(\vec{k}_1(\bar{t})-\vec{k}_2(\bar{t}))^2+m^2}. \end{align}$$

Итак, какие выводы? Что ж, как и предсказывалось, знак зарядов (и, следовательно, взаимодействий притяжения и отталкивания) входит единым образом. Также соблюдается сохранение импульса.

Использованная литература:

1. Т. Ланкастер и С. Дж. Бланделл, QFT для одаренных любителей, 2014 г.; разделы 17.2-17.4.

2. А. Зи, QFT в двух словах, 2010; раздел I.5.

--

$^1$Здесь мы работаем в подразделениях, где$c=1$.