Вывод закона Кулона из квантовой электродинамики [дубликат]

Есть несколько способов интерпретировать закон Кулона в квантовой электродинамике (КЭД). Интересно, что они не приводят к одному и тому же выводу (но несоответствия нет, потому что они определяются по-разному).

Наиболее часто используемый способ (на который ACuriousMind ссылается в своем комментарии) состоит в том, чтобы связать понятие классического потенциала с понятием сечения рассеяния между двумя зарядами. Причина, по которой этот метод является наиболее часто используемым, связана исключительно с полем в том смысле, что физики частиц (высоких энергий) чаще всего используют КЭД и фактически измеряют сечения; так что это имеет смысл.

В этой интерпретации рассеяния закона Кулона взаимодействие связано с выражением S-матрицы в терминах диаграмм Фейнмана. Первая диаграмма дает классический закон Кулона, который не зависит от постоянной Планка.$h$в то время как члены более высокого порядка содержат квантовые поправки, которые исчезают при$h \rightarrow 0$. Пример скалярной КЭД можно найти здесь (стр. 12).

Однако есть и другой способ интерпретации закона Кулона, связанный с областью физики низких энергий (из которой мы получаем атомы, молекулы и так далее).

В этой интерпретации (более адаптированной к физике низких энергий) кулоновский потенциал представляет собой энергию основного состояния КЭД системы двух точечных зарядов.$q_1$и$q_2$закреплен в двух местах, разделенных расстоянием$r_{12}$.

Если мы сначала напишем гамильтониан свободного электромагнитного (ЭМ) поля, мы получим:

$$\begin{equation} \hat{H}_{R} = \sum_{i = 1,2} \sum_{\mathbf{k}} \hbar \omega(\mathbf{k}) \:a^{\dagger}_{i,\mathbf{k}} a_{i,\mathbf{k}} \end{equation}$$ где $i$обозначает две возможные поперечные поляризации и $\mathbf{k}$— волновой вектор фотона.

При таком определении свободной ЭМ энергии мы получаем, что энергия вакуума для свободного ЭМ поля равна

$$\begin{equation} \langle 0| \: \hat{H}_{R} \: |0 \rangle = 0 \end{equation}$$

Теперь, когда мы вводим два связанных заряда, нам нужно учитывать связь между ними и электромагнитным полем. Тогда гамильтониан всей системы будет:

$$\begin{equation} \hat{H}_{tot} = \hat{H}_{R} + \hat{H}_{coupling} \end{equation}$$

где

$$\begin{equation} \hat{H}_{coupling} = \int d^3r \: A_{\mu}\: j^{\mu} \end{equation}$$

где$\{A_{\mu}\}$есть 4-потенциал ЭМ поля и$\{j^{\mu}\} \equiv (c\rho, \mathbf{j})$– 4-плотность тока. В нашем случае скрепленных зарядов мы имеем, что$\{j^{\mu} \} = (c[q_1\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)+q_2\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)], \mathbf{0})$.

В ковариантной формулировке КЭД поле$A_s = A_0$можно записать в терминах скалярных фотонов (которые обладают некоторыми необычными свойствами):

$$\begin{equation} A_s(\mathbf{r}) = \int d^3k \sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega (2\pi)^3}}(a_s(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} + a^{\dagger}_s(\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}) \end{equation}$$ что приводит к $$\begin{equation} \hat{H}_{coupling} = \int d^3k c\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega (2 \pi)^3}}\left[a_s(\mathbf{k})(q_1 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) + a^{\dagger}_s(\mathbf{k})(q_1 e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) \right] \end{equation}$$

которые не наблюдаются, так как они не дают вклада в энергию поля излучения$\hat{H}_R$.

Поскольку в системе присутствуют заряды, энергия основного состояния теперь отлична от нуля. Мы можем попытаться оценить сдвиг$\Delta E$которым энергия вакуума была изменена с использованием теории возмущений до первого отличного от нуля члена:

$$\begin{equation} \Delta E = \langle 0| \hat{H}_{coupling} | 0 \rangle + \sum_{n \neq 0} \frac{|\langle n|\hat{H}_{coupling}| 0 \rangle |^2 }{- E_n} + .... \end{equation}$$

как совершенно очевидно, первый член равен нулю по определению вакуума свободного поля. Второй член отличен от нуля только для фоковских состояний, в которых возникает скалярный фотон. Таким образом, мы получаем:

$$\begin{equation} \Delta E \approx \int d^3k \frac{|\langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle |^2}{-\hbar \omega} \end{equation}$$

Теперь у нас есть это:

$$\begin{equation} \langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle = c\sqrt{\frac{\hbar}{2 \varepsilon_0 \omega(\mathbf{k})}}(q_1 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) \end{equation}$$

Вот где проявляется странность скалярных фотонов (в этих очень поверхностных расчетах). Когда мы вычисляем квадратную норму матричного элемента, оказывается, что она отрицательна для скалярных фотонов (этот трюк позволяет сделать так, чтобы более неприятная вещь исчезла, и, короче говоря, вот как это работает). Таким образом, мы имеем следующее:

$$\begin{equation} |\langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle |^2 = - \frac{c^2 \hbar}{2 \varepsilon_0 \omega(\mathbf{k})} |(q_1 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2})|^2 \end{equation}$$

При замене в выражении для$\Delta E$, обнаруживается, что:

$$\begin{equation} \Delta E \approx \epsilon_1 + \epsilon_2 + V_{coul} \end{equation}$$

где

$$\begin{equation} \epsilon = \int d^3k \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 k^2} \end{equation}$$ - энергия самодействия зарядов друг с другом (может интерпретироваться как испускание и поглощение скалярного фотона одним и тем же зарядом)

и

$$\begin{equation} V_{coul} = \int d^3k \frac{q_1 q_2 e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}}{2\varepsilon_0 k^2} = \frac{q_1q_2}{4\pi \varepsilon_0 |\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|} \end{equation}$$ – потенциал кулоновского взаимодействия.

Обратите внимание, что хотя для простоты я использовал разложение по возмущению только до второго порядка, оказывается, что на самом деле точное основное электромагнитное состояние со связанными зарядами в фиксированных местах точно равно$\Delta E$мы вычислили. Чтобы было понятнее, в этой установке нет такой вещи, как квантовая поправка к кулоновскому взаимодействию, поскольку это точный результат КЭД. С этой точки зрения квантовые поправки возникают, когда вводится динамическая теория поля и для заряженных частиц; отсюда и отличия с картиной рассеяния.

Чтобы узнать больше об этой картине, я настоятельно рекомендую эту книгу , из которой вышеизложенное резюме сильно вдохновлено (хотя и написано в более простой форме).