Продолжительность орбиты спутника в тени Земли

Предположим, что свет от Солнца параллелен, тогда тень Земли выглядит так:

Пунктирная линия — орбита спутника на высоте$h$(Я немного преувеличил высоту, чтобы диаграмма была понятнее). Все, что нам нужно сделать, это вычислить угол$\theta$, поскольку время нахождения спутника в тени Земли равно просто:

$$t = \tau \frac{2\theta}{2\pi} \tag{1}$$

где$\tau$- период спутника. Из диаграммы должно быть очевидно, что расстояние, которое я обозначил как$d$равен радиусу Земли,$r$, и поэтому:

$$(r + h) \sin\theta = r$$

или:

$$\theta = \arcsin \left( \frac{r}{r + h} \right) \tag{2}$$

Наконец период спутника ,$\tau$, дан кем-то:

$$\tau = 2\pi\sqrt{\frac{(r+h)^3}{GM}} \tag{3}$$

где$M$это масса Земли и$G$есть постоянная Ньютона .

Собрав все это вместе, для спутника на высоте 1000 км уравнение 2 дает нам угол$1.044$радианы (59,8°), а уравнение 3 дает нам период$\tau = 105.15$минут. Подача этих результатов в уравнение 1 говорит нам, что время, в течение которого спутник находится в тени Земли, равно$34.9$минут.