Происхождение Q для множества рациональных чисел?

тл;др

Дедекинд первым использовал букву (R) для обозначения множеств рациональных чисел в 1872 г., затем, начиная с 1895 г., Пеано стал использовать букву r (строчную) для обозначения того же множества (а с 1889 г. - R для множества рациональных чисел). положительных рациональных чисел). Другие авторы предлагали другие буквы, и только в начале сороковых годов Бурбаки ввел букву Q (не жирный шрифт на доске).$\mathbb{Q}$). Возможно, версия для классного жирного шрифта была введена (может быть) в конце пятидесятых или (что более вероятно) в начале шестидесятых, но это уже другой вопрос .

Теперь немного ссылок.

Дедекинд использовал букву R (заглавную) для обозначения набора рациональных чисел в Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872 г.),$\S 3$, стр. 16 («die Gerade List unendlich viel reicher an Punkt-Individuen, als das Gebiet R der Rationalen Zahlen an Zahl-Individuen», т. е. «прямая линия L бесконечно богаче точками-индивидуумами, чем область R рациональных чисел». число лиц», здесь английский перевод).

Что касается Пеано, Википедия «явно» ссылается где-то в Formulaire de mathématiques/Formulaire Mathématique/Formulario Mathematico , где Пеано фактически широко использовал буквы для обозначения наборов ( classe ) чисел. В этом нет никаких сомнений, так как это единственная работа Пеано на эту тему за 1895 год (см. здесь полную библиографию Пеано, работы за 1895 год начинаются на странице 45). Проблема в том, что (см. страницу вики)

пять изданий Formulario [не являются] изданиями в обычном смысле этого слова. Каждый из них представляет собой новую разработку, хотя многие материалы повторяются. Более того, название и язык различались: первые три, озаглавленные Formulaire de Mathématiques, и четвертая, озаглавленная Formulaire Mathématique, были написаны на французском языке, а Latino sine flexione, собственное изобретение Пеано, использовалось для пятого издания под названием Formulario Mathematico. . ... Уго Кассина перечисляет не менее двадцати отдельно опубликованных статей как части «полного» Formulario!

и, кроме того , Formulario был написан многими сотрудниками Пеано, такими как Джованни Вайлати, Марио Пьери, Алессандро Падоа, Джованни Вакка, Винченцо Виванти, Джино Фано и Чезаре Бурали-Форти, поэтому, когда кто-то пишет «в Formulario Пеано говорит ...» нужно понимать, что на самом деле речь идет о Пеано или об одном из его сотрудников.

Следующие цитаты взяты из Formulario Mathematico , изданного в 1908 году, по той причине, что это более ясное и полное изложение предмета. Здесь можно прочитать Formulario 1908 года , а разные издания Formulaire de mathématiques есть на Gallica, например, здесь .

Сначала Пеано пишет (в И.$\S 1$, конечно) символ$N_0$, вместе с$0$и$+$как «idea primitivo» [так в оригинале], т. е. неопределенные примитивные идеи, используемые для определения всех других символов «Арифметики» и смысл которых определяется системой суждений, первая такова:

$\cdot 0\quad N_0\ \varepsilon\ \text{Cls}$

что он читал"$N_0$есть класс» и т. д. Во II.$\S 5$мы нашли$N_1=N_0+1$, так$N_1$есть множество строго положительных натуральных чисел, а во II.$\S 6$он использует$+N_0$и$-N_0$для положительных и отрицательных чисел и$n$для союза (т.$n$означает$\mathbb{Z}$). Затем в III.$\S 8$мы читаем

$\cdot 2 \quad R=N_1/N_1$

и

$R=$«Числовое обоснование». Illo es omni expressione de forma$b/a$, уби$a$эт$b$естественное число...

т.е.,$R$обозначает рациональное число, и это любое выражение для$a/b$где$a$и$b$натуральные числа; ясно, что Пеано также вводит$r=+R\cup -R\cup \iota 0$(III.$\S 9 1\cdot 0$). Кроме того, он добавляет

$\cdot 01\quad r=n/N_1$

$r=$относительное числовое обоснование

и так$r$означает$\mathbb{Q}$. Наконец, в III.$\S 12$мы нашли

$5\cdot 0\quad Q=l'`[\text{Cls}` R \cap u\ni(\exists u.\exists R=\eta u)])$

что читает Пеано

$Q$, lege "количественная реальная положительная оценка" es omni limite supero de aliquo classe$u$de Reasone, Existente, et tale Que Existe aliquo Reasone maiore de omni$u$

т.е.,$Q$, который читается как «действительные положительные числа», является любой супремумом некоторого существующего набора (класса)$u$рациональных чисел, таких, что существует некоторое рациональное число, большее, чем все элементы в$u$; четко в III.$\S 13$Пеано определяет$q$как$Q\cup -Q\cup \iota 0$, и так$q$означает наше$\mathbb{R}$.

В Formulaire de mathématiques можно прочитать более или менее то же самое (конечно, по-французски), в частности, в указателе на стр. 56 мы находим:$r$имя рационального».

Во всяком случае, Пеано использовал буквы для обозначения наборов чисел до 1895 г., см. Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889 г.), Signorum Tabula на стр. 13 ("$Q$quantitas, sive numerus realis positivus», т. е. «$Q$[обозначает] количество, то есть действительное положительное число», а$R$используется для положительных рациональных чисел, без символа для рациональных чисел, положительных или отрицательных).

Подводя итог: да, Пеано использует буквы для обозначения классов чисел, но нет, его употребление отличается (действительно, прямо противоположно) современному; кроме того, заглавные буквы используются для набора только положительных или только отрицательных чисел некоторых видов, а строчные буквы - как для положительных, так и для отрицательных чисел ($n$для$\mathbb{Z}$,$r$для$\mathbb{Q}$,$q$для$\mathbb{R}$[так в оригинале]).

Кроме того, я не могу найти какой-либо источник, независимый от Википедии, об использовании буквы$Q$от итальянского quoziente, и, кроме того, в итальянском языке элементы$Q$называются «frazioni» (дроби) или «numeri razionali» (рациональные числа, от латинского слова «ratio»), а «quoziente» — результат операции. Выбор букв Пеано прозрачен:$n$означает «numerus» (целое число, «numero» по-итальянски), «r» означает «(numero) обоснование» (рациональное число, но также и «rapporto» по-итальянски, ratio по-английски), «q» означает «quantitas» (итальянское «quantità», английское количество).

Теперь несколько слов о Бурбаки. Да, "они" используют$Q$для рациональных чисел, и нет, они не используют жирный шрифт на доске$\mathbb{Q}$(по крайней мере, в газетах 1940-х годов). Раннее появление (возможно, самое раннее напечатанное на бумаге)$Q$для обозначения множества рациональных чисел находится здесь , на странице 3, в номере 5 (7-10 декабря 1940 г.) La Tribu , внутреннего информационного бюллетеня Бурбаки. Мы читаем

$Q$est ordonné [...] Topologie de$Q$[...] Завершение$Q$: имена роликов

так что тут можно не сомневаться$Q$относится к нашему$\mathbb{Q}$. Ясно, что мы находим$Q$для рациональных чисел в Алгебре 1942 года (со страницы 29).