Простое объяснение эффекта Кондо

Эффект Кондо — это явление, которое возникает, когда у нас есть магнитная примесь, расположенная в одном месте немагнитного металла. Магнитная примесь имеет остаточный спин из-за вашей электронной конфигурации. Электроны зоны проводимости будут взаимодействовать с этим электроном посредством обменного взаимодействия . Мы можем видеть в уравнении 10 на вики-странице, что взаимодействие выглядит примерно так:

$$\Delta H = - J \vec{S}_{cb}\cdot \vec{S}_{imp}\,,$$

когда$\vec{S}_{cb}$– плотность спина электронов в точке, где находится примесь, а$\vec{S}_{imp}$– остаточный спин примеси. J — это параметр обмена или параметр связи. Мы говорим, что связь является ферромагнитной, когда$J>0$, и антиферромагнитный, когда$J<0$. Все это известно как модель Кондо , или модель sd-взаимодействия.

Эффект Кондо является квантовым явлением в том смысле, что если мыслить в модели с точки зрения классической механики, невозможно оценить явление. Классически взаимодействие между примесью и электронами металла очень простое: простое рассеяние электрона на примеси в результате такого процесса:

$$|\vec{k},\,\uparrow ,\, \downarrow \rangle \rightarrow |\vec{k}',\,\uparrow ,\, \downarrow \rangle\,,$$

подчиняясь закону сохранения энергии. Это знаменитый борновский термин теории возмущений. Мы пренебрегаем некоммутативностью между гамильтонианом зоны проводимости и оператором$\vec{S}_{cb}$. Полная энергия (гамильтониан) системы не коммутирует с оператором спиновой плотности$\vec{S}_{cb}$зоны проводимости, поэтому мы должны это тоже учитывать (помните, что некоммутация — это квантовая характеристика).

(Вот "тяжелая" математика)

Для простоты примем гамильтониан электронов зоны проводимости в виде:

$$H_{cd} =\int_{-D}^{D} \frac{|\vec{k}|^2}{2m}\, \left( c_{\vec{k},\,\uparrow}^{\dagger}c_{\vec{k},\,\uparrow} + c_{\vec{k},\,\downarrow}^{\dagger}c_{\vec{k},\,\downarrow} \right) \,d^3\vec{k}$$

Если предположить, что примесь находится в одной точке$\vec{r}_0$в пространстве имеем для оператора$\vec{S}_{cb}$:

$$\vec{S}_{cb} = \int_{-D}^{D} d^3\vec{k} \int_{-D}^{D} d^3\vec{k}'\sum_{\mu,\,\nu - \left(\uparrow,\,\downarrow \right)}\,c_{\vec{k},\,\mu}^{\dagger}\langle \vec{k},\,\mu|\sqrt {2\pi}^3\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0) \frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}|\vec{k}',\,\nu \rangle c_{\vec{k}',\,\nu}\,.$$

Термин$\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0)$Значит это$\vec{S}_{cb}$— плотность только в одной точке, в которой находится примесь. $\vec{\sigma}$– матрицы Паули . Все термины между бюстгальтером и кетом являются операторами. Итак, дельта-функция Дирака действует как оператор в состоянии$|\vec{k}\,\mu\rangle$:

$$\sqrt{2\pi}^3\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0)|\vec{k}\,\mu\rangle \rightarrow\int_{-D}^{D}\frac {d^3\vec{k}}{\sqrt {2\pi}^3} e^{i\vec{k}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)}|\vec{k}\,\mu\rangle$$

Я использую преобразование Фурье .

(Здесь заканчивается математика)

Хорошо. Теперь у нас есть взаимодействие как такой термин:

$$\Delta H = J \left( A_{\uparrow}^{\dagger}A_{\uparrow} - A_{\downarrow}^{\dagger}A_{\downarrow}\right)S_z + J A_{\uparrow}^{\dagger}A_{\downarrow} S_{-} + J A_{\downarrow}^{\dagger}A_{\uparrow} S_{+}\,$$

где$S_{\pm}$— лестничные операторы спина примеси. Оператор$A_{\uparrow \downarrow}$лежит в основе эффекта Кондо . Эти операторы получаются уравнением$\vec{S}_{cb}$, и записываются как:

$$A_{\uparrow \downarrow} = \int_{-D}^{D}\frac{d^3\vec{k}}{\sqrt{2\pi}^3} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}_0}c_{\vec{k}\,\uparrow \downarrow}$$

Является суперпозицией всех энергий, от высокой энергии$D$до нуля. Конечно, это$A$не ездить с$H_{cb}$. При вычислении очередной поправки в теории возмущений (поправки к борновскому члену) были найдены интегралы:

$$J^2\sum_{k\neq n} \frac{\langle n| \Delta H| k \rangle \langle k| \Delta H|n \rangle}{E_n-E_k}\sim J^2\,\int_{0}^{D}\,\frac{dk}{k}\,.$$

Этот термин есть не что иное, как переход$|\vec{k}\uparrow \downarrow \rangle \rightarrow |\vec{k}'' \downarrow \uparrow \rangle \rightarrow |\vec{k}'\uparrow \downarrow \rangle$, и другие типы переходов, как вы предлагаете, дают то же самое, но промежуточный переход не подчиняется закону сохранения энергии. Эти интегралы расходятся. Джун Кондо в 1964 году обнаружил, что если вас интересуют термодинамические величины, вы можете установить нижнюю границу интегрирования:

$$\sim J^2\,\int_{k_BT}^{D}\,\frac{dk}{k}\,.$$

Этот интеграл мал, что оправдывает метод теории возмущений, когда:

$$T\gg D\,e^ \frac{1}{-J^2}$$

Эта температура известна как температура Кондо. Когда мы приближаемся к этой малой температуре, теория возмущений терпит неудачу, и системы в кроссовере образуют связанное состояние между несколькими электронами в металле и магнитной примесью.

В последний год я работаю с Группой численной перенормировки , методом, разработанным для расчета термодинамических величин модели Кондо для каждой температуры, особенно малых.

Физика явления заключается в том, что при нулевой температуре существует связанное состояние, образованное множеством электронов вокруг примеси посредством обменного взаимодействия. Все эти электроны весьма нетривиальным образом делят примесь, ведь они фермионы. Фермионы не хотят находиться в одном и том же состоянии. Оказывается, эти электроны находятся вокруг примеси с чередующимися спинами таким образом, что они ослепляют магнитную примесь. В этом связанном состоянии полный спин системы равен нулю. Когда мы повышаем температуру, энергия$k_B T$начинают возмущать это связанное состояние до достижения температуры Кондо. К более высоким температурам,$k_BT$полностью разрушим связанное состояние, и мы получим голую примесь. Все эти явления имеют место потому, что оператор$A_{\uparrow\downarrow}$является интегралом по достаточно малым энергиям (малым, чем$k_BT_K$, где$T_K$температура Кондо).