Проверка сходимости/расхождения ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sin\left(\frac{n}{\pi}\right)

Я думаю, стандартный аргумент должен работать. Если$S_n=\sum_{k=0}^na_k$сходится тогда$a_k\rightarrow 0$. Необходимое условие не выполнено.

Применять$n^{th}$тест, в котором говорится, если$\lim_{\ n\to\infty} a_n\neq0$затем$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$расходится.

Во-первых, вы хотите подумать о

Вы работаете по модулю$2\pi$, так что надо подумать$\frac{n}{\pi}$по модулю$2\pi \mathbb{Z}.$

С$1/\pi^2$иррационально, существуют последовательности натуральных чисел$n_k$такое, что дробная часть$\frac{n_k}{2\pi^2}$стремится, например, к$1/3$(любое число такое, что$sin\ a\neq 0$Сделаю). Это значит, что$|sin(n_k/\pi)|$стремится к ненулевому числу как$k\to \infty$.

См. этот вопрос (или найдите равнораспределение Вейля для лучшего результата) для используемого результата плотности: кратные иррационального числа, образующие плотное подмножество