Как вычислить значение многомерного предела?

Я не думаю, что есть какой-то особенно общий подход, который всегда будет работать. Есть большое количество трюков. я обсужу$(x, y) \to (0, 0)$дело для простоты.

1. Исправить$m$, заменять$y=mx$, и разреши$x \to 0$. Если результат зависит от$m$, предела не существует. Часто это быстрый и грязный способ убедиться, что предел «очевидно» не существует, но он не может доказать, что предел существует.

   Пример :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2}$не существует, поскольку$\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{m}{1+m^2}$зависит от$m$.

2. Полярный: замена$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$и разреши$r \to 0$. Если результат один и тот же, несмотря ни на что$\theta$делает, предел существует и это значение. В противном случае предела не существует. Этот подход часто дает понимание, даже если это не срабатывает сразу.

   Пример :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0$с$\lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta} = lim_{r \to 0} r (\cos^2\theta\sin\theta) = 0$.

3. Расширения серии. Правило Лопиталя — это фундаментальный пример этой философии, поэтому я не буду приводить пример. Хотя правило Лопиталя относится к феномену с одной переменной, вы все же можете попробовать разложение Тейлора с несколькими переменными. Лично я такого на практике не видел.

4. Вдохновленные замены. Это требует «проницательности», что бы это ни значило. Часто идея звучит примерно так: «Ну, если$x$были действительно очень малы по сравнению с$y$, но не слишком мало, тогда этот член будет доминировать, и частное будет в основном равно 1, так что..."

   Пример :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2}$не существует с каких пор$y=mx^3$, у нас есть$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 (mx^3)}{x^6 + (mx^3)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1+m^2}$зависит от$m$.

Я не верю, что существует правило, которое подходит для всех многовариантных ограничений. Как правило, кто-то ищет непрерывность в точке, а затем, если это не удается, применяются различные методы, пока что-то не закрепится (например, полярные координаты, пробование множества разных путей, затем обобщение и ряды Тейлора).

Это хорошая тема, подробно описывающая несколько способов решения таких проблем, надеюсь, она немного поможет!

Существует ли пошаговый контрольный список для проверки существования многопараметрического предела и определения его значения?

Если вы хотите выяснить, каков предел, чтобы доказать это, я бы попробовал несколько путей, и если все пути ведут к одной и той же точке, я бы предположил, что это результат, который я пытаюсь доказать. Трехмерные графические калькуляторы могут помочь с этим!!