Путаница - корреляция между -1 и 1

Question

Путаница - корреляция между -1 и 1

дисперсия
статистика
корреляция
Математика
доказательство-объяснение
доказательная верификация

Бетти

Итак, в учебнике есть следующее доказательство корреляции между $-1$ и $1$ :

Это доказательство кажется убедительным, но единственное, что мне не ясно, это:

Почему дисперсия коэффициента $X$ и $\sigma$ , т.е. $Var(X/\sigma$ ) равно $Var(X)/\sigma^2_x$ ?

Дуг М

σ_{X}^{2}

$\sigma_X^2$ определяется как

V a r (X)

$Var(X)$

Бетти

@DougM Да, но почему

V a r (X / σ

$Var(X/\sigma$ ) равно

V a r (X) / σ_{x}^{2}

$Var(X)/\sigma^2_x$ ?

Майкл Харди

Правильное обозначение в этом случае

σ_{X}^{2}

$\sigma_X^2$ , нет

σ_{x}^{2} .

$\sigma_x^2.$ Вы должны быть осторожны с тем, что

X

$X$ и что такое

x

$x$ . Выражение

Pr (X \leq x)

$\Pr(X\le x)$ иначе непонятно, как и некоторые другие вещи.

Ответы (2)

Путаница - корреляция между -1 и 1

@DougM Да, но почему $Var(X/\sigma$ ) равно $Var(X)/\sigma^2_x$ ?
Правильное обозначение в этом случае $\sigma_X^2$ , нет $\sigma_x^2.$ Вы должны быть осторожны с тем, что $X$ и что такое $x$ . Выражение $\Pr(X\le x)$ иначе непонятно, как и некоторые другие вещи.

математика2x2жизнь · Answer 1

математика2x2жизнь

Дисперсия - это квадрат отклонения. Так $\text{Var } x=\sigma_x^2$ и тогда числитель и знаменатель равны.

Бетти

Да, я понимаю эту часть, но почему

V a r (X / σ

$Var(X/\sigma$ ) равно

V a r (X) / σ_{x}^{2}

$Var(X)/\sigma^2_x$ в доказательстве?

математика2x2жизнь

@Kior Напомним, что

Var (a X) = a^{2} Var X

$\text{Var }(aX)=a^2 \text{Var X}$ . Вот

σ

$\sigma$ это просто фиксированное значение, поэтому оно ведет себя точно так же при дисперсии.

Дуг М · Answer 2

Определение:

Вар (Икс) "=" \frac{1}{н} о_{Икс}^{2} "=" \sum ({Икс}_{я} - \bar{Икс})^{2}

$\operatorname{Var}(X) = \frac 1 n \sigma_X^2= \sum (X_i - \bar X)^2$

Вар (\frac{Икс}{о_{Икс}}) "="

$\operatorname{Var} \left(\frac {X}{\sigma_X}\right) =$

\frac{1}{н} \sum {(\frac{{Икс}_{я}}{о_{Икс}} - \frac{\bar{Икс}}{о_{Икс}})}^{2} \frac{1}{н} \sum {(\frac{{Икс}_{я} - \bar{Икс}}{о_{Икс}})}^{2} \frac{1}{о_{Икс}^{2}} \cdot \frac{1}{н} \sum ({Икс}_{я} - \bar{Икс})^{2} \frac{1}{о_{Икс}^{2}} Вар (Икс) "=" \frac{1}{о_{Икс}^{2}} о_{Икс}^{2} "=" 1

$\frac 1 n \sum \left(\frac {X_i}{\sigma_X} - \frac {\bar X}{\sigma_X}\right)^2\\ \frac 1 n \sum \left(\frac {X_i-\bar X}{\sigma_X}\right)^2\\ \frac 1{\sigma_X^2} \cdot \frac 1 n \sum (X_i-\bar X)^2\\ \frac 1{\sigma_X^2} \operatorname{Var}(X)=\frac 1{\sigma_X^2} \sigma_X^2 = 1$

Определение:

Ков (Икс, Д) "=" \frac{1}{н} \sum ({Икс}_{я} - \bar{Икс}) (Д_{я} - \bar{Д})

$\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac 1 n \sum (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y)$

Неравенство Коши-Шварца:

{(\sum ты в)}^{2} \leq \sum {ты}^{2} \sum в^{2}

$\left(\sum uv\right)^2 \le \sum u^2\sum v^2$

Заменять $u = (X_i - \bar X)$ и $v = (Y_i - \bar Y)$

{(\sum ({Икс}_{я} - \bar{Икс}) (Д_{я} - \bar{Д}))}^{2} \leq \sum ({Икс}_{я} - \bar{Икс})^{2} \sum (Д_{я} - \bar{Д})^{2} | Ков (Икс, Д) | \leq о_{Икс} о_{Д}

$\left(\sum (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y)\right)^2 \le \sum (X_i - \bar X)^2\sum (Y_i - \bar Y)^2\\ |\operatorname{Cov}(X,Y)| \le \sigma_X\sigma_Y$

Определение:

р_{Икс, Д} "=" \frac{Ков (Икс, Д)}{о_{Икс} о_{Д}}

$\rho_{X,Y} = \frac {\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

| Ков (Икс, Д) | \leq о_{Икс} о_{Д} | р_{Икс, Д} | \leq 1

$|\operatorname{Cov}(X,Y)|\le\sigma_X\sigma_Y \\ |\rho_{X,Y}| \le 1$

И, возможно, стоит отметить, что $\sigma_X, \sigma_Y$ эквивалентны мерам расстояния, и $\rho_{X,Y}$ эквивалентно $\cos \theta$

Закон косинусов:

с^{2} "=" а^{2} + б^{2} + 2 а б потому что θ

$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos \theta$

Имеет параллель:

о_{Икс + Д}^{2} "=" о_{Икс}^{2} + о_{Д}^{2} + 2 о_{Икс} о_{Д} р_{Икс, Д}

$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_X\sigma_Y \rho_{X,Y}$

Часто различают среднюю совокупность $\mu_X = \operatorname{E}(X)$ и выборочное среднее $\bar X = (X_1+\cdots+X_n)/n,$ где $X_1,\ldots,X_n$ это выборка, а не все население. Это очень важно, когда вы пытаетесь объяснить, почему иногда делят на $n-1$ а не по $n$ при нахождении выборочной дисперсии и когда некоторые случайные величины имеют t-распределение и т. д.
Я взял на себя смелость исправить упущение решающего фактора $\dfrac 1 n. \qquad$

Путаница - корреляция между -1 и 1

Бетти

Дуг М

Бетти

Майкл Харди

Ответы (2)

математика2x2жизнь

Бетти

математика2x2жизнь

Дуг М

Майкл Харди

Майкл Харди

Дисперсия суммы произведений

Взаимосвязь между дисперсией выборки и дисперсией доли?

Не могу понять логическую структуру доказательства бесконечного множества простых чисел Евклида в книге Розена.

Доказательства с использованием тавтологии

Доказательство фундаментальной теоремы алгебры у Малыша Рудина

Проверка гипотез на дисперсию

Конгруэнтны ли 4 треугольника, образованные серединами треугольника?

Есть ли способ определить, лежит ли целое число между двумя рациональными числами, не зная их?

Почему оценки этого интеграла не учитывают оба равенства?

Найдите для заданной верхней границы эпсилон.