Расчет частоты ноты в 18-19 веках

Вопрос заключается в том, чтобы рассчитать частоту C# на основе равнотемперированной шкалы и частоты A 429,3 Гц.

Часть домашнего задания, которую вы удалили между первой и второй версиями ваших вопросов, дает пример аналогичного расчета с использованием другого значения частоты ля и попыткой вычислить частоту другой ноты.

Таким образом, вы должны, как предлагает задача, вычислить высоту тона B, когда A составляет 440 Гц, чтобы убедиться, что вы пришли к правильному ответу. Тогда вы должны быть достаточно уверены, что можете вычислить B, когда A составляет 429,3 Гц.

Но проблема, конечно, в том, чтобы вычислить C#, а не B. Поэтому вам также нужно выяснить, чем отличается этот расчет. Разница заключается здесь:

высоту тона B4 можно найти, умножив 440 на квадрат корня двенадцатой степени из двух, поскольку B на два полутона выше A, и каждый полутон повышает высоту звука на корень двенадцатой степени из 2.

C# не на два полутона выше A, поэтому частоту C# нельзя найти путем умножения на квадрат 12-го корня из 2. Часть вашей задачи состоит в том, чтобы найти фактический коэффициент, который вам нужно использовать вместо этого.

В 12-тональной равной темперации (современная вездесущая система настройки для большинства инструментов) математическая формула для частоты любой ноты:

Где f(x) — частота ноты в герцах, а x — количество полутонов, на которые ваша нота выше среднего C (C4).

Это связано с тем, что октава определяется как частота, в два раза превышающая частоту ее начальной ноты, а в октаве двенадцать полутонов. Не позволяйте всем причудливым математическим символам сбить вас с толку; это в основном просто говорит о том, что вы умножаете 440 на корень двенадцатой степени из двух один раз на каждые полшага выше, чем вы идете. И, конечно же, (x-9) просто для того, чтобы получить все относительно среднего C вместо A4 (для музыкантов), который определен как 440 Гц.

Однако в вашем примере A4 определяется как 429,3 Гц. Это означает, что мы подставим в нашу формулу следующее:

Обратите внимание, поскольку мы начали с A4 = 429,3 Гц, формула изменилась. Кроме того, C♯5 (C♯ выше A4) на 13 полутонов выше среднего C, и, очевидно, 13-9 упрощается до 4 (или вы могли бы предположить, что C♯5 на 4 полутона выше A4. Тот же результат!).

упрощение,

и мы находим, что

И вуаля, ваша нота имеет частоту 540,88 Гц.

Это чисто математический способ решения такого рода задач. Вероятно, есть и другие способы сделать это, но этот способ довольно крут и имеет большой смысл. Кроме того, эта формула в начале является формулой общего случая, и ее обратная полезна для перехода от известной частоты к ноте :

Где f(x) — количество полутонов выше среднего C, а x — частота в герцах. Две приведенные выше формулы эквивалентны.

Примечание. Вы можете получить десятичный вывод, и это нормально, поскольку не все частоты точно соответствуют ноте в 12-TET. Итак, если вы получили, скажем, 16,21 в качестве результата этих функций, вы знаете, что ваша нота немного выше, чем D5.