Расчет изменения угла точки впереди и частоты доплеровского сдвига с тангенциальной/радиальной составляющей скорости для межспутниковой линии связи

Я не эксперт в этом вопросе, но вот анализ, основанный на основах физики.

Поскольку вы использовали 2D-диаграммы, на которых кажется, что две орбиты находятся в одной плоскости, я тоже буду придерживаться этого, но помните, что орбиты трехмерны, и вам нужно будет вычислить радиальную и перпендикулярную скорости, используя трехмерную модель. векторы скорости каждого спутника.

Векторы, показанные на Рисунке 2, показывают правильный способ расчета угла направления вперед$\theta_{PA}$и доплеровский сдвиг.

Я думаю, вы можете назвать эти два вектора$Vr$для радиальной скорости, но где радиус проведен от одного спутника к другому, и$Vp$для перпендикулярной скорости, то есть скорости, перпендикулярной линии, соединяющей два спутника.

В этом случае, когда векторы нарисованы, как показано, доплеровский сдвиг будет связан с

$$\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{Vr_1+Vr_2}{c}$$

и угол обзора будет

$$\theta_{PA} \approx 2\frac{Vp_1+Vp_2}{c}$$

Если у вас есть правильные векторы орбитального состояния для двух космических кораблей$\mathbf{r_1}, \mathbf{v_1}$и$\mathbf{r_2}, \mathbf{v_2}$то вы можете сделать следующее:

предостережение: эти векторы состояния могут быть из любой инерциальной системы отсчета, но я не думаю, что это подходит для вращающейся системы отсчета. Обратите внимание, что две скорости вычитаются; на 2D-рисунках из вопроса стрелки указывают в противоположные стороны, поэтому добавляются скалярные скорости, но это артефакт работы с изображениями со стрелками, указывающими в том направлении, в котором они находятся.

$$\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}|}$$

$$\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{(\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}) \cdot \mathbf{\hat{r}}}{c}$$

$$\theta_{PA} \approx 2\frac{|(\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}) \times \mathbf{\hat{r}}|}{c}$$

---

Вот случайное изображение из Интернета, взятое из Space Laser Communications Systems, Technologies, and Applications :

Если$\vec{R}_1$и$\vec{R}_2$- положения двух спутников в любой согласованной системе координат, в том числе в системе с центром на Земле, тогда$\vec{R}_1 - \vec{R}_2$это то, что вы ищете: векторное расстояние между ними. Вам не нужно беспокоиться о движении одного по сравнению с другим, просто о том, как этот вектор удлиняется/сжимается и вращается.

Для почти круговых орбит в одной плоскости это действительно не сильно меняет длину. Точки на круговой орбите просто следуют друг за другом на фиксированных расстояниях.

Вы сказали,

При вычислении угла точки впереди мы работаем с компонентой вектора тангенциальной скорости, а для расчета доплеровского сдвига, т.е. изменения частот, мы работаем с компонентой вектора радиальной скорости.$\newcommand{\d}{\partial} \newcommand{\r}{\vec{\mathbf{r}}} \newcommand{\R}{\vec{\mathbf{R}}} \newcommand{\v}{\vec{\mathbf{v}}} \newcommand{\V}{\vec{\mathbf{V}}}$

но это неверно, или, по крайней мере, не в сочетании с предоставленными вами изображениями.

Доплеровский сдвиг определяется скоростью изменения расстояния между двумя спутниками, которая равна разнице их общих скоростей в 3D при проецировании на мгновенный луч зрения. Имеющие значение «радиальные» и «тангенциальные» скорости не имеют ничего общего с локальной системой отсчета, используемой на каждом спутнике, а скорее с компонентами, параллельными или перпендикулярными разности положений.

Позволять$\r_1$— положение передающего спутника, и пусть$\r_2$быть положением принимающего спутника. Определите относительное положение$\R=\r_2-\r_1$. Тогда, поскольку взятие производных коммутирует с вычитанием, относительная скорость$\V$равно обоим$\d\R/\d t$и$\v_2-\v_1 = \d\r_2/\d t -\d\r_1/\d t$.

Мгновенный диапазон,$R$, является квадратным корнем из$\R\cdot\R$. Его производная по времени, «скорость дальности», равна

$$\frac{\d R}{\d t} = \frac{\d}{\d t}\sqrt{\R\cdot\R} = \frac{1}{2 R} \frac{\d}{\d t}(\R\cdot\R)=\frac{\V\cdot\R+\R\cdot\V}{2R} = \frac{\R\cdot\V}{R}$$ Так и должно быть, потому что все, что мы сделали, это переформулировали доплеровское определение:$\R/R$- единичный вектор в направлении смещения, и расставить точки с помощью$\V$вот что значит проекция.

Чтобы обсудить прогноз, мы должны уточнить, как мы работаем со временем. В частности, вместо того, чтобы использовать мгновенную разницу позиций как функцию только одного времени,$\R(t)=\r_2(t)-\r_1(t)$вместо этого нам нужно определить более общую разницу позиций как функцию двух разных времен,$\R(t_1,t_2)=\r_2(t_2)-\r_1(t_1)$. Это дает нам формулу для выражения разницы между тем, где раньше находился передатчик .$t_1$, и где будет находиться получатель$t_2$. Тогда формула

$$\frac{\R(t_1,t_1)\cdot\R(t_1,t_2)}{R(t_1,t_1) R(t_1,t_2)}$$ дает нам косинус «угла точки вперед». Чтобы сделать это правильно, вам нужно немного пошевелить вещами, чтобы максимизировать самосогласованность вашего решения. То есть, если начать с$R(t_1,t_1)$, то вы могли бы использовать$t_2 \approx t_1 + R(t_1,t_1)/c$($c$— это скорость передачи, которую я предполагаю легкой), чтобы вычислить лучший ответ для$R(t_1,t_2)$, но это меняет оценку$t_2$в котором вам нужно интерполировать ваши эфемериды, что меняет вашу наилучшую оценку времени, что меняет разность позиций и т. д. Вы запускаете эту процедуру несколько раз и, надеюсь, итерируете до сходимости на$t_2$оценивается с тем же порядком точности, что и ваши эфемериды.