Расслоения с морфизмами категорий как слои

Позвольте мне сначала сказать, что довольно странно начинать с полного пространства тривиального расслоения.$E = M \times F$, из чего следует, что все слои равночисленны, а затем написать «Из-за неоднородности слоев (т. е. мощности и структуры множества$Σ_x$и поэтому морфизмы между этим множеством не зависят от$x∈M$) [...]», что предполагает, что волокна не обязательно равночисленны.

Учитывая общность вашего вопроса, мы не сможем имитировать то, что делается, например, в римановой геометрии для определения тензора кривизны , поскольку такой тензор также будет действовать на векторы, касающиеся волокна (смысл которых непонятно в нашем контексте). Тем не менее, мы могли бы получить приблизительные представления.

Учитывая упорядоченное конечное множество$\{x_1, \dots, x_n \} \subset M$, то, что мы могли бы назвать дискретным путем$\gamma$в$M$, мы можем определить морфизм$\Lambda(\gamma) : F_{x_1} \to F_{x_n}$как составной морфизм$\Lambda(x_{n-1}, x_n) \circ \dots \circ \Lambda(x_1, x_2)$. Мы могли бы позвонить$\Lambda(\gamma)$параллельный транспорт по (дискретному) пути$\gamma$. Если$\gamma$это петля, то есть если$x = x_1 = x_n$, затем$\Lambda(\gamma) : F_x \to F_x$голономия вокруг$\gamma$.

В хороших ситуациях по кусочно-гладкому пути$\Gamma : [0,1] \to M$присоединение$x$к$y$, мы могли бы определить$\Lambda(\Gamma)$глядя на параллельную транспортировку все более и более мелких дискретных разделов$\Gamma$, получая в итоге нечто независимое от процесса разбиения. Конечно, некоторое понятие конвергенции в$\mathrm{Mor}(F_x, F_y)$должно существовать здесь. Когда$\Gamma$это петля, то есть когда$x=y$,$\Lambda(\Gamma)$голономия вокруг$\Gamma$.

В контексте дифференциальной геометрии мы знаем (например, по теореме Амброуза-Зингера ), что кривизна в точке$x \in M$связано с голономией вокруг бесконечно малых петель, основанных на$x$. Так что мы могли бы подражать этой идее. Точнее, если$\{ \Gamma_n : I \to M \}_{n \in \mathbb{N}}$представляет собой последовательность циклов, основанную на$x$сходящийся к постоянной петле$c_x : I \to \{x \}$, то мы ожидаем иметь$\lim_{n \to \infty} \Lambda(\Gamma_n) = \Lambda(c_x) = Id$, что ничего не говорит о кривизне. Таким образом, кривизна является скорее мерой того, как последовательность$\{ \Lambda(\Gamma_n)\}_{n \in \mathbb{N}}$подходы$Id$. В дифференциальной геометрии это делается путем взятия дифференциала (поскольку там$\mathrm{Mor}(F_x, F_x) = \mathrm{Diff}(F_x)$является гладким многообразием), но, как мы упоминали ранее, в нашем контексте такого понятия дифференциала может не существовать.

Обратите внимание, что голономия — это глобальная версия кривизны; В дифференциальной геометрии, поскольку мы знаем, как интегрировать, мы восстанавливаем голономии, интегрируя 2-форму кривизны вокруг петель. Однако в более общем контексте может быть более естественным рассматривать только голономии, не пытаясь иметь бесконечно малое понятие голономии.