Разделимость уравнения Гамильтона-Якоби

Ответ на ваш вопрос - да, существование$n$сохраняющиеся количества с$n$степеней свободы влечет сепарабельность HJ.

Безмассовое уравнение ГД имеет вид

$$g^{MN}\frac{\partial S}{\partial x^M}\frac{\partial S}{\partial x^N}=E.$$ Разделяется, если существует новый набор координат $Y^M$такой, что $$S(Y_1,...,Y_n)=\sum_{i=1}^n S_i(Y_i),$$ что подразумевает наличие $n$сохраняющиеся величины, поскольку каждый член уравнения ГД зависит от своей переменной. Та же процедура используется, когда мы решаем PDE. Например, в $2D$ $$S=S_x(x)+S_y(y), \quad f(x)(\partial_x S_x(x))^2+f(y)(\partial_y S_y(y))^2=E.$$ Последнее означает, что оба члена в LHS по отдельности являются константами. Таким образом, у нас есть две независимые сохраняющиеся величины.