Константы движения против интегралов движения против первых интегралов

1) Постоянная движения $f(z,t)$является (глобально определенной, гладкой) функцией$f:M\times [t_i,t_f] \to \mathbb{R}$динамических переменных$z\in M$и время$t\in[t_i,t_f]$, так что карта

$$[t_i,t_f]~\ni ~t~~\mapsto~~f(\gamma(t),t)~\in~ \mathbb{R}$$ не зависит от времени для каждой кривой решения $z=\gamma(t)$к уравнениям движения системы.

Интеграл движения/первый интеграл есть константа движения$f(z)$это не зависит явно от времени.

2) В дальнейшем для простоты ограничимся случаем, когда система является конечномерной автономной$^1$Гамильтонова система с гамильтонианом$H:M \to \mathbb{R}$на$2N$-мерное симплектическое многообразие$(M,\omega)$.

Такая система называется (вполне) интегрируемой по Лиувиллю , если существуют$N$функционально независимый$^2$, Пуассон-коммутирующие, глобально определенные функции$I_1, \ldots, I_N: M\to \mathbb{R}$, так что гамильтониан$H$является функцией$I_1, \ldots, I_N$, Только.

Такая интегрируемая система называется максимально суперинтегрируемой , если дополнительно существуют$N-1$ глобально определенные интегралы движения$I_{N+1}, \ldots, I_{2N-1}: M\to \mathbb{R}$, так что объединенный набор$(I_{1}, \ldots, I_{2N-1})$является функционально независимым.

Из теоремы Каратеодори-Якоби-Ли следует , что всякая конечномерная автономная гамильтонова система на симплектическом многообразии$(M,\omega)$локально максимально суперинтегрируема в достаточно малых локальных окрестностях вокруг любой точки$M$(кроме критических точек гамильтониана).

Суть в том, что ( глобальная ) интегрируемость встречается редко, а локальная интегрируемость является общей.

--

$^1$Автономная гамильтонова система означает, что ни гамильтониан$H$ни симплектическая двойная форма$\omega$явно зависят от времени$t$.

$^2$Внешняя дифференциальная геометрия$N$функции$I_1, \ldots, I_N$называются функционально независимыми , если

$$\forall F:~~ \left[z\mapsto F(I_1(z), \ldots, I_N(z)) \text{ is the zero-function} \right]~~\Rightarrow~~ F \text{ is the zero-function}.$$ Однако в рамках дифференциальной геометрии, которая является общепринятой основой для динамических систем, $N$функции $I_1, \ldots, I_N$называются функционально независимыми , если $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$никуда не исчезает. Эквивалентно, прямоугольная матрица $$\left(\frac{\partial I_k}{\partial z^K}\right)_{1\leq k\leq N, 1\leq K\leq 2N}$$ имеет максимальный ранг по всем пунктам $z$. Если только $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$выполняется п.в. , то, строго говоря, следует раздеть симплектическое многообразие $M$этих особых орбит.