Константы интегрирования в теории Гамильтона-Якоби

Ну а логика следующая:

1. Уравнение HJ представляет собой нелинейное УЧП первого порядка в$n+1$переменные$(q^1,\ldots q^n,t)$, которая в принципе может быть решена, например, методом характеристик . Полный$^1$решение$S(q,\alpha,t)$имеет$n$нетривиальный$^2$ константы интегрирования $\alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\in\mathbb{R}^n$.

2. Основная функция Гамильтона$S(q,\alpha,t)$является производящей функцией типа 2 для CT $(q,p,t)\to (Q,P,t)$, что (среди прочего) означает, что

   $$p_i ~=~\frac{\partial S}{\partial q^i} ~=~\text{function of } (q,\alpha,t).\tag{1}$$

3. Полный$^1$решение имеет по определению

   $$\det\frac{\partial^2 S}{\partial q^i\alpha_j}~\neq~ 0, \tag{2}$$ так что соотношение (1) в принципе может быть решено для$\alpha$, которая затем становится функцией$(q,p,t)$.

4. Константы интегрирования$\alpha$затем отождествляются с новыми импульсами$P$.

5. Камилтонский$K\equiv 0$тождественно обращается в нуль, так что новые переменные фазового пространства$(Q,P)$константы движения , ср. Уравнения Камильтона. Определение константы движения в гамильтоновом контексте дано в моем ответе Phys.SE здесь .

Использованная литература:

1. Г. Гольдштейн, Классическая механика; Раздел 10.1 первая сноска.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика . 1 (1976 г.);$\S$47 сноска на с. 148.

--

$^1$Полное решение УЧП 1-го порядка не является общим решением [1,2], несмотря на название!

$^2$Существует также тривиальная постоянная интегрирования$\alpha_0$связанный со сдвигом$S\to S+\alpha_0$, который мы подавляем.