Рождение пиона в протон-протонном столкновении

Просто суммируя все комментарии и предоставив некоторые более точные вычисления, мы имеем сохранение четырех импульсов (что является объединением сохранения энергии и сохранения импульса), мы имеем:

$$p^{\mu}_{1}+p_{2}^{\mu}=p_{1}'^{\mu}+p_{2}'^{\mu}+p_{\pi}^{\mu}$$

Взяв внутренний продукт каждой стороны сам с собой, мы получим:

$$\left\langle p_{1}^{\mu}\middle|p_{1}^{\mu}\right\rangle+2\left\langle p_{1}^{\mu} \middle| p_{2}^{\mu}\right\rangle+\left\langle p_{2}^{\mu}\middle|p_{2}^{\mu}\right\rangle=\left\langle p_{1}'^{\mu} \middle| p_{1}'^{\mu}\right\rangle + 2\left\langle p_{1}'^\mu \middle| p_{2}'^{\mu} \right\rangle + 2\left\langle p_{1}'^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu}\right\rangle + \left\langle p_{2}'^\mu \middle| p_{2}'^{\mu} \right\rangle + 2\left\langle p_{2}'^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu} \right\rangle + \left\langle p_{\pi}^{\mu} \middle| p_{\pi}^{\mu}\right\rangle$$

Мы отмечаем, что$p^{\mu}p'_{\mu}=\left\langle p^{\mu} \middle| p'^{\mu}\right\rangle$инвариантен во всех системах отсчета и что$p^{\mu}p_{\mu}=m^{2}c^{2}$, поэтому мы можем упростить:

$$2m_{p}^{2}c^{2}+2\left\langle p_{1}^{\mu} \middle| p_{2}^\mu \right\rangle = 4m_{p}^{2}c^{2}+4m_{p}m_{\pi}c^{2}+m_{\pi}^{2}c^{2}$$

Если учесть, что второй протон изначально покоится, то имеем:$p_{1}^{\mu}=\left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)$и поэтому:

$$2m_{p}E=2m_{p}^{2}c^{2}+4m_{p}m_{\pi}c^{2}+m^{2}_{\pi}c^{2}$$

Переставляя получаем:

$$E=m_{p}c^{2}+2m_{\pi}c^{2}+\frac{m_{\pi}^{2}c^{2}}{2m_{p}}$$

Использование констант$m_{p}=938\text{ MeV}/c^{2}$и$m_{\pi}=139.6\text{ MeV}/c^{2}$, мы получаем:

$$E=1.228 \text{ GeV} \implies T = 289 \text{ MeV}$$

Итак, если протон с кинетической энергией 289 МэВ столкнулся с неподвижным протоном, есть шанс, что возникнет пион.