С какой системой связаны эти сохраняющиеся величины?

Я изучаю общую теорию относительности и немного запутался в связи между симметриями и законами сохранения.

Действительно, в классической механике мы доказываем из вариационного принципа, что каждая симметрия лагранжиана порождает закон сохранения. Это теорема Нётер, которая на самом деле является следствием уравнений Эйлера-Лагранжа.

В общей теории относительности я читал, что когда производная Ли метрического тензора по векторному полю Икс обращается в нуль, то метрический тензор имеет симметрию относительно преобразования, порожденного потоком векторного поля, что также порождает симметрию.

Например: в метрике Шварцшильда

г с 2 "=" ( 1 − 2 г М р ) г т 2 − ( 1 1 − 2 г М р ) г р 2 − р 2 г θ 2 − р 2 грех 2 ⁡ θ г ф 2

мы можем легко показать, что л ∂ ∂ т г "=" 0 . Другими словами, метрика будет инвариантной относительно временных трансляций. Говорят, что это приводит к сохранению энергии. То же самое можно сказать и о сферической симметрии.

Мой вопрос здесь таков: говорят, что если метрический тензор инвариантен относительно определенного преобразования, заданного потоком векторного поля Икс , то есть если производная Ли л Икс г "=" 0 , то действует закон сохранения.

Но этот закон сохранения для какой системы? Для какой системы сохраняется величина? Я действительно не попал сюда. Так, например, в метрике Шварцшильда сохраняется энергия. Но для какой системы? Я не понимаю, для какой системы применим закон сохранения, выведенный из симметрии метрики.

Ответы (2)

  1. Рассмотрим произвольное действие материи С м который предполагается общековариантным относительно общих преобразований координат.

  2. Задайте гильбертовский тензор энергии-импульса-импульса (SEM)

    (1) Т мю ν   "="   ∓ 2 | г | дельта С м дельта г мю ν
    в соглашении о знаках Минковского ( ± , ∓ , ∓ , ∓ ) .

  3. Инвариантность диффеоморфизма приводит (через 2-ю теорему Нётер ) к тождеству вне оболочки. Используя уравнения материи. движения (эом)

    (2) дельта С м дельта ф   ≈ м   0 ,
    Вторая личность Нётер гласит:
    (3) ∇ мю Т мю ν   ≈ м   0
    для произвольной метрики г мю ν . [Здесь ≈ м символ означает равенство по модулю материи еом. Связь ∇ это связь Леви-Чивиты.]

  4. Наконец, предположим, что метрика г мю ν имеет симметрию Киллинга. Второе тождество Нётер (3) вместе с векторным полем Киллинга К мю привести к идентичности

    (4) 1 | г | г мю ( | г | Дж мю )   "="   ∇ мю Дж мю   ≈ м   0 ,
    где
    (5) Дж мю   "="   Т мю ν К ν .

  5. Из тождества (4) можно извлечь интегрируемую сохраняющуюся на оболочке величину стандартным способом с помощью теоремы о 4-мерной дивергенции , ср. Заголовочный вопрос ОП.

  6. Для получения более подробной информации см. мой ответ Phys.SE здесь и ссылки в нем.

Рассмотрим геодезическую с касательным вектором U мю

U мю ∇ мю U ν "=" 0 ,
и метрика имеет вектор Киллинга
∇ ( мю Икс ν ) "=" 0 ,
тогда количество U ν Икс ν сохраняется вдоль геодезической.
U мю ∇ мю ( U ν Икс ν ) "=" U мю U ν ∇ мю Икс ν "=" 0.
Первое равенство следует из уравнения геодезических, а второе из уравнения Киллинга.

С м U - четырехимпульс частицы в свободном падении на геодезической, а Икс выбирает специальную координату, это все равно, что сказать, что составляющая четырехимпульса в этой специальной координате сохраняется.

Точно так же предположим, что мы связаны с материей, поэтому существует сохраняющийся симметричный тензор энергии-импульса ∇ мю Т мю ν "=" 0. Тогда текущий Дж ν ≡ Икс мю Т мю ν сохраняется.

∇ ν Дж ν "=" Т мю ν ∇ ν Икс мю "=" 0.

С какой системой связаны эти сохраняющиеся величины?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v