Разве у нас не было бы дополнительного закона сохранения в сферической Вселенной?

Согласно этому ответу , недавний эксперимент WMAP показал только то, что если наша Вселенная имеет сферическую геометрию, то она должна иметь как минимум 3 ⋅ 10 11 световой год большой радиус.

Теперь рассмотрим возможность, если наша Вселенная является 4-сферой, поэтому она имеет малую постоянную положительную кривизну.

Это означает, что у нас появилась новая симметрия. Перевод любой точки любой системы с 2 π р , мы получаем ту же систему обратно. Обратите внимание, что это совсем другое, чем симметрия переноса общего пространства (что приводит к сохранению импульса):

  1. это действительно только для 2 π р переводы
  2. но оно справедливо для любой точки любой системы, а не только для всей системы.

По теореме Нётер каждой дифференцируемой симметрии действия соответствует закон сохранения.

Какой закон сохранения будет соответствовать этой симметрии?

Расширение/исправление:

Насколько я понимаю ответ @conifold , это дискретная, а не непрерывная симметрия, потому что перевод здесь возможен только с н ⋅ 2 π р ( н е Z ) , поэтому теорема Нётер здесь неприменима в своей первоначальной форме. Но, согласно этому вопросу , да, есть что-то похожее на теорему Нётер и о дискретных симметриях. О принятом (и щедром) ответе : «Для бесконечных симметрий, таких как сдвиги решетки, сохраняющаяся величина непрерывна, хотя и периодична». Как это применимо в нашем случае?

Учитывая, что перевод чего-либо с помощью 10 12 световых лет невозможно, этот закон сохранения, вероятно, не имеет практического значения, но все же мог бы существовать.
Это не будет примером дифференцируемой симметрии, поэтому теорема Нётер неприменима.
Комментарии к посту (v3): 1. Теорема Нётер не работает для дискретных симметрий, ср. например, этот пост Phys.SE. 2. О непрерывных/киллинговых симметриях см. physics.stackexchange.com/q/317946/2451 (метрика Шварцшильда заменена метрикой FLRW).
@Qmechanic Сходство мне непонятно, тем более я не вижу ответа, соответствующего закона.
@lemon Эта симметрия отображает л ( д , д ˙ , т ) к л ( д + ( 2 π р , 0 , 0 , . . . ) , д ˙ , т ) . Мне он кажется очень дифференцируемым.
Я не уверен, что мое расширение не делает мой вопрос принципиально новым. Если это произойдет, я готов отменить расширение, принять ответ и задать его как новый вопрос.
То, что вы имеете в виду, работает для цилиндра или тора, но тогда полное вращение встраивается в непрерывное семейство вращений. То же самое верно и для сферы, если мы остановимся на обычном полном вращении, не требуя, чтобы все точки перемещались по 2 π р расстояние. Для всех трех эти вращения являются аналогами перемещений в евклидовом пространстве и будут выглядеть таковыми для местных наблюдателей, поэтому вы просто получите сохранение аналога импульса. Если вы выберете только дискретную подгруппу этих вращений, вы получите что-то вроде симметрии решетки.

Ответы (3)

Ваш «перевод любой точки любой системы с 2πr» нельзя сделать для всех точек сферы одновременно. Следовательно, это не симметрия в смысле теоремы Нётер. Я предполагаю, что это относится к чему-то вроде полного вращения 2-сферы вокруг оси, и вы уже можете видеть из этого примера, что вы не можете выполнить такое вращение во всех точках сразу. Одни совершают полный круг, другие меньше, третьи вообще не двигаются (столбы). Для 3-сферы может не быть полюсов, но тогда будут инвариантные окружности, для 4-сферы снова будут полюсы (это следует из существования 1D или 2D инвариантных подпространств в вещественной линейной алгебре).

Но «форма вселенной», являющаяся сферой, относится к срезу пространства-времени, а не ко всему пространству-времени, поэтому это 3-сфера. Было бы проблематично, если бы четырехмерное пространство-время было сферическим даже в теориях циклической космологии. Они также исследуют данные WMAP для обнаружения других конечных трехмерных пространственных форм, частных сферы по конечным группам, см. Додекаэдрическое пространство Пуанкаре и Тайна пропавших без вести флуктуаций по Уиксу .

Даже если бы он работал глобально, «перевод на 2πr» не имеет в нем непрерывного параметра (r фиксировано), поэтому теорема Нётер все равно не будет применяться. Однако есть тень этого для дискретных симметрий, включающих сохраняющиеся топологические заряды, которые налагают правила отбора на различные процессы, см. Есть ли что-то похожее на теорему Нётер для дискретных симметрий?

4-сфера означает поверхность 4-мерной сферы. Если его радиус достаточно велик (в нашем случае не менее 3 ⋅ 10 11 ly), то она неотличима для нас от плоской глобальной геометрии, согласно указанному ответу в вопросе. Т.е. наше трехмерное пространство может быть поверхностью четырехмерной сферы. Все дело в космической части. Ваше первое предложение мне непонятно, почему вся система должна быть переводимой? Я думаю, что любая точка любой системы будет переводима с помощью 2 π р в любом направлении, это будет применять одну и ту же симметрию несколько раз.
Примечание: также пространственная зеркальная симметрия не имеет непрерывного параметра. Он отображает л ( д , д ˙ , т ) к л ( − д , − д ˙ , т ) . Единственный параметр, который я вижу здесь, это − 1 .
Насколько я понимаю, теорема Нётер предписывает дифференцируемость , т.е. л ( д , д ˙ , т ) → л ′ ( д , д ˙ , т ) должна быть дифференцируемой функцией. О непрерывных параметрах ничего нет. И эта трансляционная симметрия, очевидно, дифференцируема.
@peterh Стандартная терминология заключается в том, чтобы указать размер многообразия, а не того, чем оно является границей, см. n-sphere , поэтому 4-сфера - это 4D. Симметрия должна быть непрерывной, потому что в противном случае генераторы Нётер не определены даже локально, а дифференцируемость имеет смысл только для непрерывного параметра, а не для дискретного. Это должно применяться ко всему многообразию, потому что иначе они не определены глобально. Классическая теорема Нётер неприменима к зеркальной симметрии.

Я действительно не специалист в этом, но мое поверхностное впечатление таково, что теоремы сохранения соответствуют локальным (бесконечно малым) симметриям, а вы говорите о (немного сомнительной) глобальной симметрии? (Сомнительно, поскольку вы предполагаете совершенно постоянную кривизну, что кажется довольно нефизическим предположением?)

Также я не уверен, что это дифференцируемая симметрия. Что делает симметрию дифференцируемой? Перенос любой точки любой системы на любую малую — дифференцируемую — длину сохранил бы эту симметрию. Постоянная кривизна и сферическая геометрия могут быть результатом однородности и изотропии, с чем мы сталкиваемся повсюду. Может быть, вопрос лучше выглядел бы так: «Какой дополнительный закон сохранения у нас будет в статической 4-сферной Вселенной?»

Короче говоря, эта симметрия не является дифференцируемой симметрией в том смысле, в каком на нее влияет теорема Нётер.

Разве у нас не было бы дополнительного закона сохранения в сферической Вселенной?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v