Симметричны ли ковариантные производные векторных полей Киллинга?

Question

Симметричны ли ковариантные производные векторных полей Киллинга?

пользователь24999

Я читаю « Конспект лекций по общей теории относительности» Маттиаса Блау , и в разделе 9.1 (пункт 1) он пишет:

Позволять $K^\mu$ быть векторным полем Киллинга и ${x^\mu(\tau)}$ быть геодезическим. Тогда количество
${Вопрос}_{К} "=" К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}$ $Q_K=K_\mu\dot{x}^\mu$ постоянна вдоль геодезической.

Теперь в уравнении (9.2) он пишет

\nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} "=" \frac{1}{2} (\nabla_{ν} К_{мю} + \nabla_{мю} К_{ν}) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}

$\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu=\frac{1}{2}(\nabla_\nu{K}_\mu+\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ которое исчезает из-за уравнения Киллинга.

Я действительно не понимаю, почему ${\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu=0}$ . Я вижу это, потому что ${\mu,\nu}$ являются фиктивными индексами, то

\begin{aligned} \nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} & "=" \nabla_{мю} К_{ν} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} \\ (1) & ⟹ \nabla_{ν} К_{мю} - \nabla_{мю} К_{ν} "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu&=\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu\\&\Longrightarrow\,\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu=0 \tag{1}\end{align}$ Является ли этот аргумент действительным? Если да, то

(1)

$(1)$ держитесь вообще за векторы Киллинга? Поскольку я почти уверен, что это не так, несмотря на название моего вопроса (все векторные поля Киллинга будут градиентными полями), происходит ли это только вдоль геодезической? Если да, то какую интерпретацию будет иметь это условие?

Джон

Он не говорит, что антисимметричная часть должна исчезнуть, на самом деле это вообще не так. Он говорит, что только симметричная часть способствует выражению. Действительно, если у вас есть вектор,

V^{ν}

$V^\nu$ и тензор

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ , то только симметричная часть

T

$T$ способствует

T_{μ ν} V^{μ} V^{ν}

$T_{\mu\nu} V^\mu V^\nu$ . В его случае

T = \nabla K

$T=\nabla K$ и

V^{ν} = {\dot{x}}^{ν}

$V^\nu=\dot{x}^\nu$

Ответы (1)

Симметричны ли ковариантные производные векторных полей Киллинга?

Он не говорит, что антисимметричная часть должна исчезнуть, на самом деле это вообще не так. Он говорит, что только симметричная часть способствует выражению. Действительно, если у вас есть вектор, $V^\nu$ и тензор $T_{\mu\nu}$ , то только симметричная часть $T$ способствует $T_{\mu\nu} V^\mu V^\nu$ . В его случае $T=\nabla K$ и $V^\nu=\dot{x}^\nu$

Эдвард · Answer 1

Вектор убийства $K^\mu$ определяется как векторная производная Ли от метрики, вдоль которой обращается в нуль.

л_{К} г_{мю ν} "=" 0, ⟹ \nabla_{мю} К_{ν} + \nabla_{ν} К_{мю} "=" 0.

$\begin{equation} \mathcal{L}_K g_{\mu\nu}=0, \quad \Longrightarrow \nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu=0. \end{equation}$ Я думаю, нет необходимости писать вывод этого уравнения в явном виде, так как вы можете найти его везде.

Касательно Вас вопрос про антисимметризацию. Начнем с выражения

\begin{aligned} \nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} & "=" \nabla_{мю} К_{ν} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} \\ (1) & ⟹ (\nabla_{ν} К_{мю} - \nabla_{мю} К_{ν}) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu&=\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu\\&\Longrightarrow\,(\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu=0 \tag{1}\end{align}$ В этой форме последнее уравнение тривиально, так как мы стягиваем антисимметричный тензор с симметричным

{\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ . Однако отсюда нельзя вывести уравнение

\nabla_{мю} К_{ν} - \nabla_{ν} К_{мю} "=" 0

$\nabla_\mu K_\nu-\nabla_\nu K_\mu=0$ так как это верно только при сжатии с симметричным тензором.

Следовательно, уравнение Киллинга $\nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu=0$ которое использовал Блау, на самом деле исходит из определения в начале этого поста. Симметризация в выражении $\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu$ как уже упоминалось Джоном, происходит от сжатия с симметричным тензором $\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu$ . Подробно:

\begin{aligned} \nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} & "=" \frac{1}{2} (\nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} + \nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю}) \\ "=" \frac{1}{2} (\nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} + \nabla_{α} К_{β} {\dot{Икс}}^{α} {\dot{Икс}}^{β}) \\ "=" \frac{1}{2} (\nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} + \nabla_{α} К_{β} {\dot{Икс}}^{β} {\dot{Икс}}^{α}) \\ "=" \frac{1}{2} (\nabla_{ν} К_{мю} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю} + \nabla_{мю} К_{ν} {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю}) \\ "=" \frac{1}{2} (\nabla_{ν} К_{мю} + \nabla_{мю} К_{ν}) {\dot{Икс}}^{ν} {\dot{Икс}}^{мю}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu&=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\alpha{K}_\beta\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\alpha{K}_\beta\dot{x}^\beta\dot{x}^\alpha)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu+\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu). \end{aligned} \end{equation}$ Вот во второй строке я просто переименовал индексы, в третьей

{\dot{x}}^{α}

$\dot{x}^\alpha$ и

{\dot{x}}^{β}

$\dot{x}^\beta$ были переставлены, а затем я снова переименовал индексы.

Один вопрос: условие быть полем Киллинга подразумевает, что для векторных полей $X,Y$ Мы будем иметь $g(\nabla_X K, Y) + g(X,\nabla_Y K)=0$ . В римановом многообразии (т. е. сигнатуре все +) это, очевидно, подразумевает выбор ортонормированного базиса $e_{\mu}$ и принимая $X = e_\mu$ , $Y = e_\nu$ , что $\nabla_\mu K_\nu + \nabla_\nu K_\mu = 0$ . Но в псевдоримановом многообразии имеем $g(e_\mu,e_\nu)=\pm \delta_{\mu\nu}$ . Как это не влияет на плюсик в уравнении Киллинга при конвертации в компонентную версию?

Симметричны ли ковариантные производные векторных полей Киллинга?

пользователь24999

Джон

Ответы (1)

Эдвард

Золото

Интуиция за дифференциальными операторами как базисными векторами многообразия (пространство-время)

Как вычислить ковариантную производную ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha базисного вектора по другому базисному вектору?

Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в общей теории относительности

Геометрический смысл параллельного транспорта

Транспортировка касательных векторов при взятии производных Ли

Почему единичный вектор представлен в виде частной производной в ОТО?

О символе Кристоффеля и векторных полях

Индексы обычно поднимаются внутри или вне частных производных в общей теории относительности?

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Производная Ли в этой статье [закрыта]