Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в общей теории относительности

Question

Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в общей теории относительности

Сито

Я знаю, что этот вопрос уже задавался и на него уже был дан ответ (см., например, здесь и здесь ), и хотя второй ответ довольно близок к моей проблеме (даже касаясь моего вопроса, он просто смахивает его с «по определению "), я до сих пор не вижу, где именно мои рассуждения терпят неудачу.

Настраивать

Позволять $\gamma : I \to M$ , для $I\subset\mathbb{R}$ , — гладкая кривая, то $\dot\gamma(\lambda)$ является элементом касательного пространства в точке $\gamma(\lambda)$ , которую мы будем обозначать через $T_{\gamma(\lambda)}M$ . Теперь мы можем выбрать локальную диаграмму $x$ на некотором открытом подмножестве $U$ из $M$ , что мы можем выразить $\dot\gamma(\lambda)$ как $\dot\gamma(\lambda)\equiv \dot x^\mu(\lambda)\partial_\mu$ .

Если $\nabla$ является римановой связностью на $M$ , то мы определили геодезическую как кривую в $M$ что удовлетворяет $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$ .

Позволять $K$ векторное поле Киллинга. Тогда, по-видимому, верно следующее:

\frac{д}{д λ} (К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}) "=" 0.

$\frac{d}{d\lambda}(K_\mu \dot x^\mu)=0.$

Если попытаться вычислить это напрямую:

\begin{aligned} \frac{д}{д λ} (К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}) & \equiv \nabla_{\dot{γ}} (К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}) "=" {\dot{Икс}}^{ν} \nabla_{\partial_{ν}} (К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}) "=" {\dot{Икс}}^{ν} (К_{мю} \nabla_{\partial_{ν}} {\dot{Икс}}^{мю} + К_{мю, ν} {\dot{Икс}}^{мю}) \\ "=" (\nabla_{\partial_{ν}} {\dot{Икс}}^{мю}) {\dot{Икс}}^{ν} К_{мю} + \frac{1}{2} (К_{мю, ν} + К_{ν, мю}) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} \\ \overset{(*)}{"="} (\nabla_{\partial_{ν}} {\dot{Икс}}^{мю}) {\dot{Икс}}^{ν} К_{мю} + \frac{1}{2} (\underset{"=" 0}{\underset{⏟}{К_{мю; ν} + К_{ν; мю}}}) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} + Г_{мю ν}^{λ} К_{λ} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} \\ "=" (\nabla_{\partial_{ν}} {\dot{Икс}}^{мю}) {\dot{Икс}}^{ν} К_{мю} + Г_{мю ν}^{λ} К_{λ} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} . \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{d}{d\lambda}(K_\mu\dot x^\mu)&\equiv\nabla_{\dot\gamma}(K_\mu \dot x^\mu) = \dot x^\nu \nabla_{\partial_\nu}(K_\mu\dot x^\mu) = \dot x^\nu (K_\mu \nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu +K_{\mu,\nu}\dot x^\mu)\\ &= (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu + \frac{1}{2}(K_{\mu,\nu}+K_{\nu,\mu})\dot x^\mu\dot x^\nu\\ &\overset{(*)}{=} (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu + \frac{1}{2}(\underbrace{K_{\mu;\nu}+K_{\nu;\mu}}_{=0})\dot x^\mu\dot x^\nu + \Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda\dot x^\mu\dot x^\nu\\ &= (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu+ \Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda\dot x^\mu\dot x^\nu.\end{align*}$

Вопрос

В выражении $(\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu$ единственная часть, которая может быть равна нулю для каждого $\lambda$ является $\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu$ . Я не понимаю, почему. Вероятно, это как-то связано с тем фактом, что мы говорим здесь о геодезических, но я не понимаю, как условие $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$ приводит к этому.
В шаге $(*)$ Я переключил частные производные на ковариантные производные $,\to\, ;$ использовать уравнение Киллинга. Это создало термин, пропорциональный $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda$ . Может кто-нибудь объяснить, почему этот термин должен быть равен нулю?

Синай Симсон

С

\frac{d}{d λ} = {\dot{x}}^{μ} \partial_{μ}

$\frac{d}{d\lambda}=\dot x^{\mu}\partial_{\mu}$ - касательный вектор, то

{\dot{x}}^{μ} \partial_{μ} (K_{ν} {\dot{x}}^{ν}) = {\dot{x}}^{μ} (\partial_{μ} K_{ν}) {\dot{x}}_{ν} + {\dot{x}}^{μ} K_{μ} \partial_{μ} {\dot{x}}^{ν})

$\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}+\dot x^{\mu}K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu})$ где последний член справа

K_{μ} \partial_{μ} {\dot{x}}^{ν} = 0

$K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu}=0$ так как аффинная кривая идет вдоль

{\dot{x}}^{μ}

$\dot x^{\mu}$ . С использованием

{\dot{x}}^{μ} \partial_{μ} (K_{ν} {\dot{x}}^{ν}) = {\dot{x}}^{μ} (\partial_{μ} K_{ν}) {\dot{x}}_{ν}

$\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}$ вы должны иметь возможность использовать условие убийства и играть с индексами, чтобы показать результат. Это может быть не тривиально.

Синай Симсон

И. между прочим, так как

⟨ K, \dot{γ} ⟩ = (K_{ν} {\dot{x}}^{ν})

$\langle K,\dot\gamma\rangle=(K_\nu \dot x^\nu)$ является скаляром, то

Γ_{μ ν}^{λ} = 0

$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=0$ .

Сито

@CinaedSimson Не могли бы вы объяснить подробнее, почему именно

Γ_{λ ν}^{μ} = 0

$\Gamma^\mu_{\lambda\nu}=0$ ?

Синай Симсон

Базисных векторов нет.

(K_{ν} {\dot{x}}^{ν})

$(K_\nu \dot x^\nu)$ является сокращением - это скалярная функция. Следовательно, ковариантная производная сводится к частной производной. Поскольку символы Кристоффеля определяются как

\nabla_{\partial_{i}} (\partial_{j}) = Γ_{i j}^{k} \partial_{k}

$\nabla_{\partial_{i}}(\partial_{j})=\Gamma_{ij}^{k}\partial_{k}$ , Из этого следует

Γ_{i j}^{k} = 0.

$\Gamma^{k}_{ij}=0.$

Ответы (1)

Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в общей теории относительности

С $\frac{d}{d\lambda}=\dot x^{\mu}\partial_{\mu}$ - касательный вектор, то $\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}+\dot x^{\mu}K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu})$ где последний член справа $K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu}=0$ так как аффинная кривая идет вдоль $\dot x^{\mu}$ . С использованием $\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}$ вы должны иметь возможность использовать условие убийства и играть с индексами, чтобы показать результат. Это может быть не тривиально.
И. между прочим, так как $\langle K,\dot\gamma\rangle=(K_\nu \dot x^\nu)$ является скаляром, то $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=0$ .
@CinaedSimson Не могли бы вы объяснить подробнее, почему именно $\Gamma^\mu_{\lambda\nu}=0$ ?
Базисных векторов нет. $(K_\nu \dot x^\nu)$ является сокращением - это скалярная функция. Следовательно, ковариантная производная сводится к частной производной. Поскольку символы Кристоффеля определяются как $\nabla_{\partial_{i}}(\partial_{j})=\Gamma_{ij}^{k}\partial_{k}$ , Из этого следует $\Gamma^{k}_{ij}=0.$

Сэм Гралла · Answer 1

Ваш термин Кристоффеля отличается от коэффициента 2 и пропускает несколько точек x. Если вы это исправите, то последняя строка будет ковариантной производной на мировой линии:

{\dot{Икс}}^{ν} \nabla_{ν} {\dot{Икс}}^{мю} "=" {\dot{Икс}}^{ν} \partial_{ν} {\dot{Икс}}^{мю} + Г_{α β}^{мю} {\dot{Икс}}^{α} {\dot{Икс}}^{β}

$\dot{x}^\nu \nabla_\nu \dot{x}^\mu = \dot{x}^\nu \partial_\nu \dot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha \beta} \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta$ .

Однако нет причин когда-либо использовать производные координат:

\frac{д}{д λ} (К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}) "=" {\dot{Икс}}^{ν} \nabla_{ν} (К_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}) "=" ({\dot{Икс}}^{ν} \nabla_{ν} К_{мю}) {\dot{Икс}}^{мю} + К_{мю} ({\dot{Икс}}^{ν} \nabla_{ν} {\dot{Икс}}^{мю}) "=" 0

$\frac{d}{d\lambda} (K_\mu \dot{x}^\mu) = \dot{x}^\nu \nabla_\nu (K_\mu \dot{x}^\mu) = (\dot{x}^\nu \nabla_\nu K_\mu) \dot{x}^\mu + K_\mu(\dot{x}^\nu \nabla_\nu \dot{x}^\mu) = 0$

Первый член обращается в нуль по уравнению Киллинга, а второй по аффинно параметризованному геодезическому уравнению.

Спасибо, что указали на недостающее $x$ (Я думаю, что я исправил это правильно сейчас). Не могли бы вы уточнить, что «последняя строка будет ковариантной производной на мировой линии»? Я не совсем уверен, что именно вы имеете в виду здесь или почему тогда результат будет нулевым. Также спасибо за указание на альтернативный способ вычисления результата. Несмотря на то, что мне на самом деле не нужно использовать производные координаты, я все же хотел бы знать, как это можно сделать с их помощью.
У вас все еще есть дополнительный коэффициент 2 перед гамма-членами — вы забыли о 1/2 от симметрирования? Я отредактирую сообщение, чтобы показать, что я имею в виду под ковариантными производными на мировой линии.

Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в общей теории относительности

Сито

Настраивать

Вопрос

Синай Симсон

Синай Симсон

Сито

Синай Симсон

Ответы (1)

Сэм Гралла

Сито

Сэм Гралла

Симметричны ли ковариантные производные векторных полей Киллинга?

О символе Кристоффеля и векторных полях

Как показать, что каждое векторное поле Киллинга является коллинеацией материи?

Какое-то уравнение сохранения

Должен ли каждая изометрия иметь связанный с ней вектор Киллинга?

Определение «статического пространства-времени» по векторам Киллинга

«Легкий способ» узнать векторные поля Киллинга?

Головоломка о теореме о расходимости

Вариация действия с векторами Киллинга

Интуиция за дифференциальными операторами как базисными векторами многообразия (пространство-время)