Симметрии в Вильсоновской РГ

  • Я хотел знать, существует ли теорема о том, что при написании лагранжиана, если кто-то пропустил член, который сохраняет (лиевскую?) симметрию других членов и также является маргинальным, то он обязательно будет сгенерирован потоком РГ в IR.

    (... как лагранжиан безмассового скалярного поля в 3 + 1 будет генерировать массовый член в качестве встречного члена... хотя есть случаи, такие как Гросс-Невё (ГН), где дискретная симметрия нарушается динамически, а не в пертурбативной РГ, и поэтому есть 2 эквивалентных КТП, соответствующих лагранжиану ГН, но связь между двумя непертурбативными вакуумами заново реализует дискретную симметрию..)

  • Можно ли сделать заявление в этом духе в тождествах Уорда? Что же вообще можно сказать о судьбе в ИК тождеств Уорда, соответствующих УФ-симметриям?

  • Кроме того, если ничто другое не запрещает, гарантируется ли, что поток РГ к ИК также производит все те члены, которые имеют более высокую размерность и сохраняют симметрии УФ-теории?

    Будут ли такие термины обязательно иметь вид О / Λ н куда Λ УФ-отсечка и О оператор более высокой размерности и н таков, что весь термин имеет предельную размерность. (... и тогда я могу интерпретировать, что эти эффективные члены исчезают в УФ-излучении, когда я убираю отсечку до бесконечности..)

  • И сколько ответов на вышеизложенное остается, если заниматься нерелятивистской теорией?

Ответы (1)

Во-первых, я не думаю, что это имеет какое-то отношение к относительности. Те же самые принципы должны соблюдаться в трехмерных нерелятивистских системах и четырехмерных теориях инвариантов Лоренца.

Не знаю, удовлетворит ли вас мой ответ, и я не совсем уверен в деталях, но подумаю вслух.

  • Предположим, что поток РГ порождает члены, несовместимые с некоторой симметрией. Тогда такой терм нарушил бы тождество Уорда (правило сохранения симметрии), т. е. нарушил бы какое-то свойство «более фундаментальной» теории. Таким образом, такие термины не должны генерироваться потоком RG.

  • Когда вы начинаете без определенного члена в своем лагранжиане, вы предполагаете, что в некотором приближении им можно пренебречь . Это не совсем ноль, но, вероятно, имеет небольшое значение. В этом случае, если это соответствующий оператор в IR, его значение будет увеличиваться экспоненциально (на основе его канонического масштабирования). По какой-то причине поток RG может сделать его равным нулю на этой конкретной шкале энергии, но это значение не обязательно должно быть фиксированной точкой потока RG. Имея в виду интеграл по путям, мы можем сказать, что любой процесс, который не запрещен, должен происходить с некоторой малой вероятностью. Они добавят другие петлевые (квантовые) поправки к бета-функции , которые в общем случае не будут пропорциональны самой связи. Такие термины сделают добавку(а не мультипликативных) поправок к соединению и, следовательно, оттолкнуть его от нуля, даже если вы начали с нуля. Затем экспоненциальное увеличение из-за размера масштабирования позаботится об увеличении его до некоторого значительного значения.

Ваша картина терминов в форме О / Λ н мне кажется правильным.

Маргинальные связи могут быть немного более тонкими, так как классически они не должны перенормироваться. Но квантовые (петлевые) поправки заставят связь работать логарифмически в зависимости от масштаба. Это называется размерной трансмутацией .

Я хотел бы упомянуть родственный пример симметрии по хранению . В системах с конденсированными средами УФ-физика обычно описывается теорией решетки. Тогда УФ-теория имеет только дискретную подгруппу группы вращений в качестве симметрии. Но в ИК мы получаем хорошую эффективную теорию поля с полной вращательной симметрией ! Чтобы понять это, давайте посмотрим на картину в импульсном пространстве. Для УФ-теории (псевдо)импульс может принимать значения внутри, скажем, куба (при условии, что наша решетка кубическая). При переходе РГ в ИР все операторы размерности п 4 или выше не имеют значения и становятся незначительными. Таким образом, только оператор с двумя производными ( п 2 ) сохраняется в ИК, давая нам полную вращательную симметрию. Однако, если бы у нас не было кубической решетки в УФ, у нас могли бы быть члены, нарушающие вращательную симметрию, которые становятся актуальными в ИК. Таким образом, (дискретная) симметрия в УФ-диапазоне защищает расширенную симметрию в ИК-диапазоне. Это явление метко называют кастодиальной симметрией. Улучшенная ИК-симметрия может быть неточной, но члены, нарушающие эту симметрию, подавляются.

Обратите внимание, что приведенный выше пример соответствует принципам, поднятым в вашем вопросе, и не говорит ничего другого. Я просто нашел, что это очень классный пример, поэтому я надеюсь, что вы меня побалуете.

Я немного опасаюсь думать, что каким-то образом поток RG гарантированно будет производить все условия, как вы говорите, и как я сказал ранее. Я имею в виду, что свободная безмассовая скалярная теория поля действительно останется таковой навсегда. Но иногда личности Уордов могут быть нарушены - это аномалии!
Также эта интерпретация «пространственной трансмутации» кажется мне новой — правда ли, что она является общей для любой маргинальной связи? - В КХД вы вычисляете бета-функцию с 1 петлей и пытаетесь интегрировать ее, чтобы получить поток связи, и в ответе вы видите, что можно найти компромисс между голой связью и масштабом перенормировки с точки зрения фиктивной шкалы масс - то, что для этого требуется логарифм, априори неочевидно — это непрофессиональная трансмутация измерений человека. (.. хотя Гросс-Невю делает пространственную трансмутацию непертурбативно!..)
Если ваша голая связь не имеет естественного масштаба, то соответствующий оператор имеет каноническую размерность как пространственно-временную размерность. Это означало бы, что либо он не перенормируется (и является фиксированной точкой потока РГ), либо логарифмически растет по величине. Это похоже на то, что делают в КХД. (Если бы связь не перенормировалась, то вы были бы в фиксированной точке, и ваша теория была бы конформной.) Я не знаю о модели Гросса-Неве. Я постараюсь взглянуть на эти два расчета и вскоре добавлю комментарий.
В ответ на ваш первый комментарий: 1. Бесплатные теории не являются хорошими прототипами и к тому же совершенно неинтересны. Взаимодействующие теории очень различны качественно. 2. Если у вас есть аномалия, то у вас никогда не было симметрии, поэтому ограничения на разрешенные операторы могут быть сняты.
@Sia (1) В аномальном сценарии симметрия существует классически, но нарушается КТП. Сложность заключается в том, что если аномалии нет ни в одном энергетическом масштабе, то, вероятно, ее нет нигде! (очевидно, какая-то теорема ТХофта) - безмассовые взаимодействующие теории являются хорошими примерами аномалии - классическая конформная инвариантность нарушается КТП.
(2) Я не понимаю вашего мнения об этих безразмерных связях. Вы говорите, что любая маргинальная связь обязательно будет иметь логарифмическую бегущую/размерную трансмутацию? (... тем самым не каждая калибровочная связь должна иметь размерную трансмутацию... но я думаю, что только КХД имеет такой эффект...)
Я думаю, что мы получаем что-то в основном неправильно! См. стр. 519 Weinberg vol-1 (его сноска важна) - аргумент в тексте и в сноске, кажется, независимо объясняет, что для высокоразмерного / нерелевантного оператора по мере снижения УФ-отсечки или масштаба измерение меньше масштаба
тогда эффект от этого оператора пренебрежимо мал. Таким образом, в основном, если оператор высокой размерности не существует в UV, он не может появиться в IR потоком RG.
Симметрии в Вильсоновской РГ
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v