Доказательство того, что перенормировка Вильсона порождает только члены, согласующиеся с симметрией действия.

Я думаю, что это довольно легко доказать с помощью функциональных интегралов. При перенормировке Вильсона поле разделяется на моды с низкой энергией и моды с высокой энергией, скажем,$\phi = \varphi + \Phi$, где$\varphi$имеет опору только на малых импульсах и$\Phi$на крупных. Действие будет$S[\varphi,\Phi] = S_1[\varphi] + S_2[\Phi] + S_\text{int}[\varphi,\Phi]$.

Представьте теперь, что полная теория (высокая энергия) имеет симметрию относительно$\varphi \to \tilde\varphi[\varphi]$и$\Phi \to \tilde\Phi[\Phi]$. Это означает, что действие инвариантно:$S[\tilde\varphi,\tilde\Phi]=S[\varphi,\Phi]$. Заметьте также, что я использовал тот факт, что внутренние симметрии не смешивают низкоэнергетические моды с высокоэнергетическими. РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы понять это, можно работать, например, в импульсном пространстве. Режимы низкой и высокой энергии определены таким образом, что

$$\varphi(k) = \begin{cases} \phi(k) \quad \text{ for } k \leq \Lambda \\ 0 \quad \quad \,\text{ otherwise}\end{cases}\,, \qquad \Phi(k) = \begin{cases} 0 \quad\quad\,\, \text{ for } k \leq \Lambda \\ \phi(k) \quad \,\text{ otherwise}\end{cases}\,.$$ Так как внутренние симметрии действуют не на импульсы, а только на индексы полей, преобразования, например,$\varphi(k)$по-прежнему будет иметь только поддержку на$k\leq \Lambda$, т.е. это все еще будет низкоэнергетический режим. КОНЕЦ РЕДАКТИРОВАНИЯ

Теперь эффективное действие, полученное интегрированием по высокоэнергетическим модам, определяется как

$$e^{iS_\text{eff}[\varphi]} = e^{iS_1[\varphi]}\int \mathcal{D}\Phi \, \exp \left( iS_2[\Phi]+iS_\text{int}[\varphi,\Phi] \right)\,.$$

Теперь выполните преобразование симметрии на$\varphi$,

$$\begin{align} e^{i S_\text{eff}[\tilde\varphi]} &= e^{iS_1[\tilde \varphi]} \int \mathcal{D}\Phi \exp\left( iS_2[\Phi] + i S_\text{int}[\tilde\varphi,\Phi]\right) \\ &= e^{iS_1[\tilde \varphi]} \int \mathcal{D}\tilde\Phi \exp\left( iS_2[\tilde\Phi] + i S_\text{int}[\tilde\varphi,\tilde\Phi]\right) \\ &= e^{iS_1[\varphi]} \int \mathcal{D}\Phi \exp\left( iS_2[\Phi] + i S_\text{int}[\varphi,\Phi]\right)= e^{iS_\text{eff}[\varphi]}\,, \end{align}$$

где во втором равенстве я только что произвел замену переменной интегрирования$\Phi\to\tilde\Phi$, а в третьем я использовал тот факт, что действие инвариантно и симметрия не аномальна (т.е.$\mathcal{D}\Phi = \mathcal{D}\tilde\Phi$).

Следовательно, если исходная теория инвариантна, инвариантна и эффективная низкоэнергетическая теория, т. е. в процедуре перенормировки не могут быть сгенерированы члены, нарушающие симметрию.

Надеюсь, это ответит на ваш вопрос!

1. Эффективное действие Вильсона
   

   $$\begin{align} \exp&\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\}\cr ~:=~~~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H_k \phi_H^k\right)\right\} \end{align}\tag{A}$$ определяется путем интегрирования тяжелых/высоких мод$\phi^k_H$и выходя из светлых/низких режимов$\phi^k_L$. Здесь$J^H_k$обозначает источники для тяжелых мод. Эффективное действие Вильсона (возможно, нелокальное)$W_c[J^H,\phi_L]$является производящим функционалом связного$\phi_H$Диаграммы Фейнмана на заднем плане$J^H,\phi_L$.

2. Предположим, действие

   $$S[\widetilde{\phi}]~=~S[\phi]\tag{B}$$ инвариантен относительно обратимого аффинного преобразования$^1$ $$\widetilde{\phi} ~=~A\phi+b. \tag{C}$$

3. Неоднородный перевод естественно связать$b$в уравнении (C) со световыми режимами. Это приводит к законам частичного преобразования

   $$\begin{align} \widetilde{\phi}_L ~=~&A\phi_L+b, \cr \widetilde{\phi}_H ~=~&A\phi_H, \cr \widetilde{J}^H ~=~&J^HA^{-1}. \cr \end{align}\tag{D}$$

4. Предположим, что мера интеграла по путям

   $${\cal D}\widetilde{\phi}_H~=~{\cal D}\phi_H\tag{E}$$ также является инвариантным.

5. Тогда эффективное действие Вильсона

   $$\begin{align} \exp&\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[\widetilde{J}^H,\widetilde{\phi}_L] \right\}\cr ~\stackrel{(A)}{=}~~~&\int \! {\cal D}\frac{\widetilde{\phi}_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\widetilde{\phi}_L+\widetilde{\phi}_H]+\widetilde{J}^H_k \widetilde{\phi}_H^k\right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{linearity}}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{\widetilde{\phi}_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\widetilde{\phi_L+\phi_H}]+\widetilde{J}^H_k \widetilde{\phi}_H^k\right)\right\}\cr ~\stackrel{(B)+(E)}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H_k \phi_H^k\right)\right\}\cr ~\stackrel{(A)}{=}~~~&\exp\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\} \end{align}\tag{F}$$ также является инвариантным.

Использованная литература:

1. С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 2, 1996; Раздел 16.4 п. 77 + п. 17.2 п. 84.

--

$^1$Возможное расширение уравнения. (F) к неаффинным симметриям опирается на эффективное разделение легких и тяжелых мод, ср. Ответ Эйнджа. См. также соответствующее обсуждение в Ref. 1, где показано, что эффективное/правильное действие $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$наследует аффинные симметрии действия$S[\phi]$и мера интеграла по путям${\cal D}\phi$.