Симметрия тензора диэлектрической проницаемости

Question

Симметрия тензора диэлектрической проницаемости

НеонГабу

В книге Макса Борна «Основы оптики» в главе XIV скорость изменения плотности электрической энергии $w_{e}$ обобщается на

\begin{matrix} (1) & \frac{г ш_{е}}{г т} "=" \frac{1}{4 π} \sum_{к л} Е_{к} ϵ_{к л} {\dot{Е}}_{л} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} \tag 1 \end{equation}$

для учета анизотропных сред. Однако говорят, что правая часть приведенного выше уравнения не может быть интерпретирована как скорость изменения плотности электрической энергии, если только

\begin{matrix} (2) & \frac{г ш_{е}}{г т} "=" \frac{1}{4 π} \sum_{к л} Е_{к} ϵ_{к л} {\dot{Е}}_{л} "=" \frac{1}{8 π} \sum_{к л} ϵ_{к л} (Е_{к} {\dot{Е}}_{л} + {\dot{Е}}_{к} Е_{л}) \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l}\, = \frac{1}{8\pi}\sum_{kl}\,\epsilon_{kl}( E_{k}\dot{E}_{l}+ \dot{E}_{k}E_{l}) \tag 2 \end{equation}$

то есть если только

\begin{matrix} (3) & \sum_{к л} ϵ_{к л} (Е_{к} {\dot{Е}}_{л} - {\dot{Е}}_{к} Е_{л}) "=" 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \sum_{kl}\,\epsilon_{kl}( E_{k}\dot{E}_{l} - \dot{E}_{k}E_{l}) = 0 \tag 3 \end{equation}$

что подразумевает $\epsilon_{kl} = \epsilon_{lk}$ , при условии $k$ и $l$ являются фиктивными индексами.

Теперь для изотропных сред $\epsilon_{kl} = \epsilon\,\delta_{kl}$ и уравнение (1) соответствует ожидаемому. Я не понимаю, однако, почему это выражение можно отождествить с изменением плотности электрической энергии только при условии выполнения требования уравнения (2). Мне все это кажется круговым рассуждением, потому что вы можете написать уравнение (2), только если тензор изначально симметричен. Можете ли вы помочь мне понять это рассуждение?

Ответы (1)

Симметрия тензора диэлектрической проницаемости

Эмилио Писанти · Answer 1

Требование перестановочной симметрии в связях этой формы является довольно универсальной особенностью, и основная причина этого заключается в том, что для того, чтобы энергия была четко определенной функцией переменных состояния, вам нужно, чтобы она не зависела от пути.

Проще всего это увидеть на конкретном примере, поэтому рассмотрим двумерный случай, в котором тензор восприимчивости имеет вид

ϵ "=" (\begin{matrix} ϵ_{Икс Икс} & ϵ_{у Икс} \\ ϵ_{Икс у} & ϵ_{у у} \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} 0 & 0 \\ ϵ_{Икс у} & 0 \end{matrix}),

$\epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{yx} \\ \epsilon_{xy} & \epsilon_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \epsilon_{xy} & 0 \end{pmatrix},$ и рассмотрим два процесса, которые занимают

(E_{x}, E_{y})

$(E_x,E_y)$ от

(0, 0)

$(0,0)$ к

(E_{0}, E_{0})

$(E_0,E_0)$ ,

через ногу $(E_x,E_y): (0,0) \to (0,E_0)\to (E_0,E_0)$ , против
через ногу $(E_x,E_y): (0,0) \to (E_0,0)\to (E_0,E_0)$ ,

с каждой стороной квадрата, пройденной равномерно за время $T$ .

В первом процессе у вас есть

\frac{г ш_{е}}{г т} "=" \frac{1}{4 π} \sum_{к л} Е_{к} ϵ_{к л} {\dot{Е}}_{л} "=" \frac{1}{4 π} Е_{Икс} ϵ_{Икс у} {\dot{Е}}_{у} "=" 0

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = 0$ на первой ноге, потому что

E_{x} = 0

${E}_x=0$ , а на второй ноге у вас

{\dot{E}}_{y} = 0

$\dot{E}_y=0$ , так что вы также получите

\frac{г ш_{е}}{г т} "=" \frac{1}{4 π} \sum_{к л} Е_{к} ϵ_{к л} {\dot{Е}}_{л} "=" \frac{1}{4 π} Е_{Икс} ϵ_{Икс у} {\dot{Е}}_{у} "=" 0,

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = 0,$ и вы делаете вывод, что

Δ w_{e} = 0

$\Delta w_e=0$ .

С другой стороны, во втором процессе у вас также есть $\dot{E}_y=0$ , так что у вас также есть $\frac{dw_{e}}{dt} =0$ , но замыкающая сторона квадрата другая, так как

\frac{г ш_{е}}{г т} "=" \frac{1}{4 π} \sum_{к л} Е_{к} ϵ_{к л} {\dot{Е}}_{л} "=" \frac{1}{4 π} Е_{Икс} ϵ_{Икс у} {\dot{Е}}_{у} "=" \frac{1}{4 π} Е_{0} ϵ_{Икс у} \frac{Е_{0}}{Т} "=" \frac{1}{4 π} \frac{1}{Т} ϵ_{Икс у} Е_{0}^{2} "=" 0,

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = \frac{1}{4\pi}\,E_{0}\epsilon_{xy}\frac{E_0}{T} = \frac{1}{4\pi}\,\frac{1}{T}\epsilon_{xy}E_{0}^2 = 0,$ и вы делаете вывод, что

Δ w_{e} = \frac{1}{4 π} ϵ_{x y} E_{0}^{2} \neq 0

$\Delta w_e = \frac{1}{4\pi}\epsilon_{xy}E_{0}^2\neq 0$ .

Как видите, тензор связи, с которого я начал, несовместим с $w_e$ является функцией переменных состояния. Немного более формализованной версии того же рассуждения достаточно, чтобы показать, что это свойство реализуемо тогда и только тогда, когда тензор связи симметричен по каждой паре индексов.

Симметрия тензора диэлектрической проницаемости

НеонГабу

Ответы (1)

Эмилио Писанти

Использование метода релаксации для моделирования отрицательных диэлектриков в электрическом поле?

Проводимость от диэлектрической проницаемости

Электролиты и электрическое поле

Электромагнитное облучение диэлектрика: преобразование уравнения стрикционной силы

Свет от колеблющихся электрических и магнитных полей

Запрос относительно решения «Введения в электродинамику» Гриффита, четвертое издание, задача 4.13 [закрыто]

Энергия в диэлектрическом материале

Многочастотный микроволновый нагрев

Станет ли круговой гауссов пучок, отраженный от границы раздела диэлектриков, эллиптическим?

Почему дерево непрозрачное?