Слабая абсолютная непрерывность мер

Question

Слабая абсолютная непрерывность мер

исчисление
Математика
реальный анализ
теория меры
интеграл по Лебегу

пользователь66906

Я хочу показать, что если у нас есть функция $f \in L^p$ такое что $||f||_p =1$ .

Определить новую меру $\mu$ к

мю (А) "=" \int_{А} | ф (Икс) |^{п} д м (Икс) .

$\mu(A):=\int_A |f(x)|^p dm(x).$

Затем $\forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta>0$ такое, что имеет место следующая импликация:

м (А) < дельта \Rightarrow мю (А) < ϵ .

$m(A)< \delta \Rightarrow \mu(A) < \epsilon.$

Я читал кое-что в википедии и заметил, что это как-то связано с абсолютной преемственностью мер, но я ничего об этом не знаю. Может, подскажете, как это показать?

Ответы (1)

Слабая абсолютная непрерывность мер

Давиде Жиродо · Answer 1

Учитывая $|f|^p$ вместо $f$ , мы можем предположить, что $p=1$ и $f$ является неотрицательным.
Для каждой простой функции $s:=\sum_{i=1}^Na_i\chi_{B_i}$ , где $a_i$ неотрицательные действительные числа и $B_i$ непересекающиеся измеримые множества, и каждое измеримое множество $A$ ,
$\begin{matrix} (*) & мю (А) "=" \int_{А} | ф - с + с | м (Икс) ⩽ \int_{А} | ф - с | д м (Икс) + \int_{А} с (Икс) д м (Икс) ⩽ ‖ ф - с ‖_{1} + (\sum_{я "=" 1}^{Н} а_{я}) м (А) . \end{matrix}$ $\mu(A)=\int_A|f-s+s|\mathrm m(x)\leqslant \int_A|f-s|\mathrm dm(x)+\int_As(x)\mathrm dm(x)\\\leqslant\lVert f-s\rVert_1+\left(\sum_{i=1}^Na_i\right)m(A)\tag{*}.$
Мы можем заключить $(*)$ по $2\varepsilon$ -аргумент: взять $s$ такой, что $\lVert f-s\rVert_1\lt \varepsilon$ ; затем определите $\delta:=\frac{\varepsilon}{1+\sum_{i=1}^Na_i}$ .

Нужно ли исходить из того, что мера $\sigma$ - конечный? Я думаю, что это возможно.
@Фрэнк Где бы $\sigma$ -конечность играют роль? В любом случае мы можем сократить пространство меры до $\{f\neq 0\}$ которое является счетным объединением множеств конечной меры.
@DavideGiraudo У меня есть вопрос. В первой строке вы имели в виду рассмотрение f вместо $|f|^p$ , верно? а по построению $s$ , мы предполагаем, что все $B_i \subset A$ ? И принимаете ли вы далее норму ||.||_1 как интеграл по всему пространству с мерой или просто $A$ (Я бы предположил, просто $A$ )?
я возьму $L^1$ норма по всему пространству. $B_i's$ не обязательно содержатся в $A$ . Для первой точки определите $g:=|f|^p$ .
@DavideGiraudo В таком случае я не понимаю, как ты это понял $m(A)$ в выражении (*) ? $\sum_{i=1}^Na_i m(B_i)$ это то, что я хотел бы там, и если бы мы предположили $B_i \subset A$ , было бы понятно, но раз у нас нет, то я не вижу, где это $m(A)$ происходит от?
Я отредактировал, стало понятнее?
@DavideGiraudo действительно, именно поэтому мне было интересно, какой набор вы взяли за норму. большое спасибо

Слабая абсолютная непрерывность мер

пользователь66906

Ответы (1)

Давиде Жиродо

Откровенный

Давиде Жиродо

пользователь66906

Давиде Жиродо

пользователь66906

Давиде Жиродо

пользователь66906

Давиде Жиродо

Альтернативное доказательство теоремы о мажорируемой сходимости путем применения леммы Фату к 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

Интуиция для интеграции Лебега

Реальный анализ, Фолланд 3.5.34

Значение и приложения теоремы Рисса о представлении в локально компактных хаусдорфовых пространствах

Фолланд: Почему мера продукта четко определена?

Интегрирование неотрицательной функции, реальный анализ Фолланда

Можно ли поменять местами супремум и интеграл (теоретический по мере)?

Как вычислить значение многомерного предела?

Как я могу использовать теорему Фубини здесь?

Эквивалентное определение предварительной меры