Сложение скоростей против сложения сил

Я начну свой ответ с того, что отойду от конкретного примера, чтобы дать более общий ответ. В конце я резюмирую, как общее обсуждение применимо к конкретному примеру.

Давайте сосредоточимся на вашем наблюдении, что

И скорость, и сила являются векторами.

Истинный. Оба являются векторами, и внутренняя характеристика векторов состоит в том, что существует сумма векторов . Однако, хотя сложение векторов является вполне определенным математическим понятием (по сути, правилом параллелограмма), применение векторов в физике не может обойтись без дополнительного шага тщательного определения физического смысла суммы .

Когда мы отождествляем силу физического объекта с векторами, мы неявно или явно должны обеспечить оперативный смысл всех векторных операций (сумма и умножение на скаляр). В классической механике, если мы идентифицируем наличие силы${\bf F}$результирующим ускорением пробной частицы, сумма двух сил, приложенных к одной и той же частице , и произведение силы на скаляр напрямую связаны с соответствующим сложением ускорений и умножением ускорения на скаляр.

Обратите внимание, что важным компонентом концепции сложения сил является добавление только сил, приложенных к одному и тому же телу. Упустив это, у нас возникнут проблемы, если мы попытаемся суммировать пару сил действие-противодействие. В более математическом смысле мы могли бы сказать, что силы, действующие на разные тела, находятся в разных векторных пространствах и поэтому не могут быть суммированы.

Аналогичное обсуждение можно провести и со скоростями. Перемещения точечного объекта во времени$\Delta t$, могут быть представлены векторами. Откуда мы это знаем? Мы просто определяем сумму двух перемещений одного и того же тела как результирующее перемещение. С этим определением нетривиальным физическим выводом является то, что порядок двух смещений не имеет значения (сумма коммутативна), что существует нулевое смещение. Для каждого смещения существует противоположное смещение, сумма обоих эквивалентна нулевому смещению. Кроме того, можно определить умножение на скаляр, используя смещения в том же направлении. Такое умножение выполняет все соответствующие аксиомы определения векторного пространства.

Ключевым моментом является то, что сумма перемещений как векторов имеет физический смысл объединения различных перемещений одного и того же тела . Все, что можно сказать о перемещениях, можно, конечно, сказать и о скоростях.

Подводя итог, скажем, что можно или нельзя делать при суммировании сущностей, называемых скоростями или силами, зависит от физического смысла, который мы придаем математическим понятиям. Недостаточно иметь векторные величины, чтобы суммировать их, не анализируя, что это за векторы.

Давайте теперь перейдем к примеру. Силы, воздействующие на одно и то же тело, можно суммировать, и это приведет к ускорению, которое представляет собой сумму присутствующих ускорений, если бы в каждый момент времени присутствовала только одна из сил. Суммировать скорости двух различных точек одного и того же твердого тела бессмысленно, так как положение тела (коробки) определяется только одной точкой.

Обратите внимание, что прояснение концепций векторного сложения скоростей является важной предпосылкой, позволяющей избежать путаницы с законами преобразования скоростей в различных системах отсчета в теории относительности.

Две нити тянут с одинаковой скоростью$u$. Ящик также будет двигаться со скоростью$u$.

Вы не «тянете» коробку со скоростью. Вы можете тянуть его, применяя силу, которая приводит к изменению скорости. Представьте, что на ящик действуют две силы, одна из которых придает ему скорость.$\vec v$а другой дает скорость$\vec w$. Тогда можно сказать, что результирующая скорость равна$\vec v +\vec w$.

Натяжение струны равно$T$. Следовательно, полная сила, действующая на коробку, равна$T+T=2T$.(Коробка ускоряется)

В этом случае вы прикладываете к ящику две силы, и поэтому они складываются, чтобы дать результирующую силу. Первый случай на самом деле не имеет физического смысла, но второй случай имеет.

И скорость, и сила являются векторами

Да, и математически мы можем сложить любые два вектора, но при добавлении векторов, представляющих физические величины, мы должны быть уверены, что эти физические величины представляют.

В вашем первом примере вы не можете добавить разные скорости в разных точках одного и того же тела, поскольку его скорость определяется поступательным движением одной точки (обычно центра) тела (при условии, что тело жесткое).

Второй пример с силами работает нормально, поскольку результирующая сила, действующая на объект, представляет собой векторную сумму всех сил, действующих на него, как вы это сделали.

Вы идете по улице со своим другом. Теперь вы держитесь за руки. Теперь вы двигаетесь в два раза быстрее?

Если бы добавление скорости работало так, то получился бы полный бред. Всякий раз, когда два движущихся объекта прилипали друг к другу, они двигались быстрее.

Другой, более математический взгляд на это. Энергия объекта массы$m$движущийся со скоростью$v$является

Извините за мой плохой английский. Французский мой родной язык.

Чтобы определить вектор, необходимо указать векторное пространство, в котором он определен. В общем, для многообразия у нас есть касательное векторное пространство в каждой точке. В классической физике пространство имеет аффинную структуру плоского пространства, и мы определяем в каждой точке касательное векторное пространство, которое для аффинного плоского пространства может быть отождествлено друг с другом.

Именно в этом касательном векторном пространстве определяется сложение двух векторов. Таким образом, в каждой точке определяется векторное пространство перемещений. Векторная сумма двух смещений от точки есть смещение. Разделив на время, мы перейдем к векторам скорости.

С другой стороны, возникают трудности с определением производной скорости: мы сравниваем векторы в разных точках. Чтобы сделать это, мы должны определить параллельный транспорт и соединение, которые позволяют транспортировать вектор из одной точки в другую. Это очень просто в случае аффинного пространства классической физики. В разнообразии сложнее: надо ввести ковариантную производную.

Таким образом, даже сложение двух сил в разных точках не является простым следствием структуры векторного пространства. Мы должны транспортировать векторы. А это просто только для аффинного плоского пространства.

Это проницательный вопрос.

Точно так же, как не все вещи с ногами являются столами, не все вещи, представленные векторами (в математическом смысле), одинаковы.

В классической механике есть два класса векторных величин, каждый из которых имеет некоторые общие свойства. Приведенная ниже номенклатура не стандартизирована, поскольку разные авторы использовали разные названия для одних и тех же понятий, приведенных ниже.

• Вектор оси — уникальный вектор, который передает направление и величину величины, принадлежащей телу, представляющему линию (или ось) в пространстве.

  Некоторые примеры твердого тела:

  • Вектор импульса - это единственный вектор, описывающий состояние поступательного импульса твердого тела. Независимо от того, как вращается тело, оно всегда определяется как

    $$\boldsymbol{p} = m\, \boldsymbol{v}_{\rm C}$$ где С - центр масс. Линия, связанная с импульсом, называется осью удара .

  • Вектор силы — это единственный вектор, описывающий нагрузку, которой подвергается тело. Сила есть производная импульса по времени, поэтому полная нагрузка равна

    $$\boldsymbol{F} = m \, \boldsymbol{a}_C$$ Линия, связанная с силой, называется линией действия .

  • Вектор скорости вращения является общей величиной, разделяемой всеми частицами тела. Говорят, что любая точка тела (или общей расширенной системы отсчета) вращается на$\boldsymbol{\omega}$относительно друг друга точки. Линия, связанная с вращением, называется осью вращения .

• Вектор момента — вектор, который зависит от местоположения и определяется моментом вектора оси. Это требует соглашения о правиле правой руки в виде векторного произведения для определения направления вектора. Это определяет векторное поле вокруг упомянутых выше линий. Векторное поле — это вектор, который меняет направление и величину в зависимости от местоположения.

  Некоторые примеры в некоторой произвольной точке A :

  • Вектор скорости зависит от местоположения измеряемой частицы по общей формуле $$\boldsymbol{v}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{\omega}$$ где$\boldsymbol{r}_A$- положение оси вращения относительно частицы.
  • Вектор крутящего момента зависит от местоположения частицы, где крутящий момент суммируется по общей формуле $$\boldsymbol{\tau}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{F}$$ где$\boldsymbol{r}_A$— расположение линии действия силы относительно точки суммирования.
  • Вектор углового момента зависит от места, где он суммируется по общей формуле $$\boldsymbol{L}_A = \boldsymbol{r}_A \times \boldsymbol{p}$$ где$\boldsymbol{r}_A$- расположение оси перкуссии относительно точки суммирования.

Теперь о векторной алгебре. Как сложить две силы или две скорости и чем отличается этот процесс.

• Две Силы складываются в состояние загрузки тела за счет скольжения векторов вдоль их линии действия до тех пор, пока они не встретятся в общей точке. В общей точке используйте правило трапеций, чтобы узнать направление, величину и местонахождение равнодействующей силы.

Результатом является векторное сложение векторов осей (сил) и векторов моментов (крутящих моментов) компонент за компонентом.

• Две Скорости не складываются, чтобы изменить состояние тела (если только тело не перемещается в чистом виде, частный случай). Две скорости являются просто выражениями одной и той же скорости вращения в разных точках.

Чтобы описать кинематику тела относительно другого тела, вам нужно сложить векторы осей (скорость вращения) и векторы момента (скорость поступательного движения), выраженные в общей точке, точно так же, как вышеуказанные силы необходимо добавить в общей точке. точка.

Геометрия этой ситуации приводит к теореме об относительном центре вращения .

Стоит прочитать следующую статью 1901 г.

• SLATE, F. Использование «осей-векторов». Природа 64, 54–55 (1901). ДОИ , скачать pdf

Кроме того, прочитайте этот ответ здесь о природе крутящего момента и векторах момента, которые определяются с помощью векторного произведения.

Таким образом, общие величины в механике интерпретируются следующим образом.

$$\begin{array}{r|l|l} \text{concept} & \text{value} & \text{moment}\\ \hline \text{rotation axis} & \text{rot. velocity}, \boldsymbol{\omega} & \text{velocity}, \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \text{line of action} & \text{force}, \boldsymbol{F} & \text{torque}, \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ \text{axis of percussion} & \text{momentum}, \boldsymbol{p} & \text{ang. momentum}, \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \end{array}$$ Материал под столбцом значений — это фундаментальные величины, которые дают нам величину чего-либо (а также направление). То, что находится в столбце моментов , — это вторичные величины, которые зависят от того, где они измеряются, и позволяют использовать относительное расположение фундаментальных величин. Следовательно, термины крутящий момент = момент силы, скорость = момент вращения и угловой момент = момент количества движения. Все это означает, что эти величины равны$\boldsymbol{r} \times \text{(something fundamental)}$и они описывают момент руки к этому чему-то.

Тот факт, что скорость и сила являются векторами, здесь лишь вторичен. Истинное различие здесь заключается в том, являются ли рассматриваемые количества интенсивными или экстенсивными , то есть в том, как они масштабируются с размером системы.

Со скалярными значениями мы могли бы спросить точно то же самое о температуре и массе. Рассмотрим два одинаковых объекта с температурой$T$и масса$m$. При соединении их температура не повысится до$T$, но все равно останется на$T$, потому что температура является интенсивным свойством . Однако масса является экстенсивным свойством , поэтому общая масса увеличится до$2m$.

Объединение двух неравных экстенсивных свойств сводится к сумме, а при интенсивных свойствах это средневзвешенное значение по некоторому экстенсивному свойству системы: в данном примере это будет полная теплоемкость каждого из тел.

В случае (1) постоянная скорость означает, что ускорение равно нулю. В отсутствие гравитации нет результирующей силы. Добавляют только относительные скорости.