Сохранение энергии за конечное время в золотом правиле Ферми

При выводе золотого правила Ферми для применения внезапного постоянного возмущения мы получаем следующую формулу для скорости:

п ф ← я ( т ) "=" | ⟨ ф | В | я ⟩ | 2 4 грех 2 ⁡ ( ю ф я т 2 ) ( Е ф − Е я ) 2

Тогда стандартно показать, что как т → ∞ , функция sinc превращается в дельту, и энергия сохраняется. Однако у меня есть вопросы по поводу кажущегося «неэнергетического сохранения» в конечное время.

Я понимаю, что, поскольку в гамильтониане произошло внезапное изменение, зависящее от времени, у энергии нет причин для сохранения, но некоторые аспекты этого кажутся загадочными.

  1. Функция sinc имеет несколько «меньших пиков» вокруг основного пика. Что делает эти другие энергии «предпочтительнее» для перехода системы по сравнению с другими энергиями?

  2. Куда девается первоначальная энергия возмущения через бесконечное время. Прав ли я, думая, что она возвращается обратно из системы в возмущение в бесконечном пределе времени, чтобы энергия все-таки сохранялась?

  3. Отличается ли что-нибудь в ситуации, когда возмущение имеет бесконечно медленное включение, пропорциональное е ϵ т . Это медленное (не внезапное) включение внезапно делает вещи адиабатическими и устраняет некоторую путаницу с сохранением энергии?

Я не думаю, что этот вопрос отвечает на большую часть моего вопроса, но спасибо
Разве это не т продолжительность времени, в течение которого действует возмущение? Как может т → ∞ и возмущение будет внезапным, а?
Потому что возмущение по-прежнему включается мгновенно и резко при t=0

Ответы (1)

Скрытая часть айсберга золотого правила Ферми
Я думаю, что часть проблемы может исчезнуть, если мы представим сохранение энергии в более строгих терминах, подходящих для проведения расчетов. Законы сохранения следуют из симметрий пространства-времени и проявляются в математической форме физических уравнений. В классической механике они появляются как первые интегралы уравнений, тогда как в квантовой механике как коммутация между сохраняющимися величинами и гамильтонианом. В этом смысле энергия системы в целом всегда сохраняется, если только гамильтониан не зависит явно от времени.

Золотое правило Ферми является полезным инструментом для вычислений и легко выводится с использованием базовой квантовой механики, что производит впечатление простоты. Однако в этих выводах много того, что скрыто под ковром (см., например, этот ответ ), обычно в виде предположений, довольно расплывчато изложенных в выводах. Позвольте мне сделать несколько конкретных замечаний:

  • При работе с золотым правилом Ферми гамильтониан явно зависит от времени, поэтому закон сохранения энергии не применяется.
  • Исследуемая система является лишь частью целого, а другая часть является движущим полем, которое считается классическим и может добавлять и удалять энергию из системы.
  • Существует неявный механизм расфазировки, локализующий систему в одном из состояний - этот механизм обычно проявляется либо в терминах конечной плотности конечных состояний (введенных ad-hoc), либо в виде предельного перехода т → + ∞
  • Дефазировка достаточно сильна, чтобы предотвратить переходы ф → я , т. е. социляции Раби .
  • Еще один способ уточнить расфазировку: мы рассматриваем только п я → ф ( т ) "=" г г т | с ф ( т ) | 2 , т. е. только один элемент матрицы плотности, без учета ее недиагональных членов.

Полное описание
Большинство этих вопросов исчезает, если рассматривать взаимодействие системы с квантованным полем:

  • тогда сохранение энергии - это сохранение всей энергии системы + поле фотонов
  • плотность конечных состояний и необратимость перехода появляются в результате принятия термодинамического предела - бесконечного числа фотонных мод (иначе мы наблюдали бы коллапс и возрождение).
  • в любое конечное время мы имеем дело с суперпозицией состояний системы и фотонного поля, поэтому энергия системы сама по себе не является интегралом движения, и мы не находимся в собственном состоянии системы гамильтонина.

Промежуточный уровень описания переходов
Промежуточный уровень описания достигается с помощью уравнений Блоха , которые явно включают недиагональные элементы матрицы плотности.

Ответы на ОП
Позвольте мне сформулировать, как это относится более конкретно к вопросам, сформулированным в ОП:

  1. п я → ф является математическим объектом, не подчиняющимся закону сохранения энергии (это всего лишь один элемент полной матрицы плотности). Интерпретация с точки зрения сохранения энергии появляется только после принятия предела т → ∞ .
  2. Если рассматривать периодическую силу, приводящую в движение классический осциллятор, то, если сила не находится в резонансе, на некоторых участках цикла она ускоряет осциллятор, а на других участках цикла противодействует колебаниям. Точно так же поле, управляющее двухуровневой системой, может как добавлять, так и отнимать энергию (как в уже упомянутых осцилляциях Раби).
  3. На мой взгляд, адиабатическое переключение облегчает вывод. Он не всегда соответствует одной и той же физической ситуации, но в пределе дает один и тот же результат. т → ∞ - еще одно напоминание о том, что правило Золотого Ферми имеет смысл только в этом пределе; он не предназначен для описания переходного процесса после включения возмущения.
Спасибо! Я не совсем понимаю, что вы имели в виду насчет перефразирования, не могли бы вы уточнить?
И является ли ваша главная мысль в том, что конкретная форма пиков (например, Sinc здесь) на графике является чисто артефактом точной временной зависимости возмущения (например, синусоидальной или постоянной, но только от t = 0) и в конечном итоге не имеет большого значения потому что они всегда будут точно компенсированы распределением энергии движущего поля?
Если честно решить гамильтониан в соответствии с теорией возмущений, зависящей от времени, можно получить бесконечные колебания между двумя уровнями (осцилляции Раби). Требуется больше работы, чтобы получить эти колебания явно и даже приблизительно. ФГР предполагает, что эти колебания очень быстро затухают и система оказывается локализованной в возбужденном состоянии - для этого требуется какой-то термодинамический процесс, которого нет в гамильтониане. Только при таком предположении скорость п я → ф имеет смысл.
Хм, я просто пытаюсь точно увидеть разницу, потому что я вывел флоп Раби для двухуровневой системы, просто используя формализм TDPT (хотя там не было усечения, поэтому я думаю, что это не была теория возмущений). Действительно ли, если мы включим сюда бесконечное количество порядков, мы все равно получим провал Раби? Так что дело не в том, что формализм исключает это, а в том, что приводит результат только к первому порядку (для золотого правила Ферми)?
Думаю, я просто ищу, как именно «неявный механизм дефазировки» подразумевается в математике.
Формализм довольно общий. Это хороший способ выразить это: Золотое правило Ферми усекает расширение в определенном порядке, который требует довольно много допущений, чтобы быть физически правильным. В принципе, можно выполнять транскрипцию более высоких порядков с аналогичными результатами, если не суммировать все порядки. Кстати, при адиабатическом переключении это очень похоже на возмущение матрицы рассеяния.
Механизм расфазировки неявный , потому что он не в математике, а в приближении, которое делается при сокращении ряда, взятии квадрата и т. д. В более полном расчете, например, при расчете поглощения атома или твердого тела, можно было бы включить различные взаимодействия и сделать приближения с точки зрения силы и характерного времени, диктуемого этими взаимодействиями.
Хорошо, все понятно спасибо! Последний пункт, что вы имеете в виду под повышенным сходством адиабатического переключения с расширением S-матрицы?
Это точно такой же формализм, если S-матрицу вычислять пертурбативно (ряды Борна, диаграммы Фейнмана и т. д.). За исключением того, что S-матрица обычно выводится в нестационарном случае. Но если электромагнитное поле квантовано, т.е. имеется S-матрица для системы+фотоны, то они неразличимы.
Но что конкретно в адиабатической модели делает ее эквивалентной формализму S-матрицы, когда внезапное включение не удается?
Я предполагаю, что моя проблема заключалась в том, почему формализм теории рассеяния требует включения адиабатического включения. Но, может быть, этого и не требуется, просто теория S-матрицы предполагает и адиабатическое переключение, поэтому формализм адиабатического переключения здесь эквивалентен?
S-матрица возникает в задачах рассеяния волн, которые по существу статичны во времени. Адиабатическое переключение используется для предположения, что начальное и конечное состояния являются решениями гамильтониана в далеком прошлом и далеком будущем. ФГР изучает динамическую ситуацию - скорость переходов. Но внезапное переключение — это еще и математический трюк, поскольку всегда берется ограничение по времени. В своем вопросе вас интересует переходная ситуация, которая на самом деле не является целью FGR.
Отлично, спасибо!
Сохранение энергии за конечное время в золотом правиле Ферми
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v