Формула Кубо для общих наблюдаемых

На вики-странице о формуле Кубо выводится математическое ожидание некоторой наблюдаемой при слабом возмущении, зависящем от времени. Однако, с моей точки зрения, отсутствуют некоторые важные шаги. Я сделал вывод по той же идее, но получил нечто иное. Ниже приведен мой вывод с использованием изображения взаимодействия:

(Примечание: я буду использовать другой набор обозначений, чтобы упростить понимание аргумента. Я буду использовать индекс я явно означать количество и количество изображения взаимодействия без суб я следует считать Шредингером)

Гамильтониан системы определяется выражением ЧАС ( т ) "=" ЧАС 0 + В ( т ) , где ЧАС 0 не зависит от времени и В ( т ) считается малым возмущением, которое включается при т "=" 0 . Тогда для некоторого наблюдаемого А , у нас есть

< А > т "=" Т р [ р ( т ) А ] Т р [ р ( т ) ] "=" ∑ н < н ( т ) | е − β ЧАС ( т ) А | н ( т ) > ∑ н < н ( т ) | е − β ЧАС ( т ) | н ( т ) > "=" ∑ н е − β Е н ( т ) < н ( т ) | А | н ( т ) > ∑ н е − β Е н ( т )
Теперь мы оцениваем < н ( т ) | А | н ( т ) > используя интерактивную картинку:

< н ( т ) | А | н ( т ) > =< н я ( т ) | А я ( т ) | н я ( т ) > =< н я ( 0 ) | U я † ( т ) А я ( т ) U я ( т ) | н я ( 0 ) > =< н ( 0 ) | U я † ( т ) А я ( т ) U я ( т ) | н ( 0 ) >
где использовалась эволюция во времени в картине взаимодействия, а также с тем, что | н я ( т ) >= е я ЧАС 0 т | н ( т ) > , что сразу дает | н я ( 0 ) >= | н ( 0 ) > .

Мы также знаем из изображения взаимодействия, что U я ( т ) "=" е − я ∫ 0 т г т ′ В я ( т ′ ) , который при пертурбативном разложении до линейного порядка становится 1 − я ∫ 0 т г т ′ В я ( т ′ ) . Подставляя это в приведенное выше уравнение, мы снова имеем линейный порядок

< н ( т ) | А | н ( т ) > =< н ( 0 ) | [ 1 + я ∫ 0 т г т ′ В я ( т ′ ) ] А я ( т ) [ 1 − я ∫ 0 т г т ′ В я ( т ′ ) ] | н ( 0 ) > =< н ( 0 ) | А я ( т ) | н ( 0 ) > − я < н ( 0 ) | ∫ 0 т г т ′ [ А я ( т ) , В я ( т ′ ) ] | н ( 0 ) >
который после подстановки в выражение для < А > т дает нам
< А > т "=" ∑ н е − β Е н ( т ) < н ( 0 ) | А | н ( 0 ) > ∑ н е − β Е н ( т ) − я ∑ н е − β Е н ( т ) < н ( 0 ) | ∫ 0 т г т ′ [ А я ( т ) , В я ( т ′ ) ] | н ( 0 ) > ∑ н е − β Е н ( т )
Сравнивая с результатом вики, кажется, что основное несоответствие - это фактор Больцмана, исходящий от оператора плотности. В моем случае это зависит от времени, а на странице вики - нет, что сбивает с толку, потому что, кажется, нет способа избавиться от зависимости от времени. Любая помощь очень ценится.

Ваша первая строка уже неверна. р "=" е − β ЧАС справедливо только для систем, находящихся в тепловом равновесии, что означает, что ЧАС не может зависеть от времени.
@MengCheng, тогда как мы должны вычислять математическое ожидание, потому что в операторе плотности гамильтониан должен быть полным гамильтонианом
Мы не знаем, как вычислить точное математическое ожидание, поэтому нам нужно заняться теорией возмущений.
@MengCheng, так вы говорите, что вместо того, чтобы рассматривать полный гамильтониан с использованием структуры равновесия, мы напрямую аппроксимируем полный гамильтониан невозмущенной частью? Я всегда думал, что возмущение уже сделано с помощью оператора эволюции.
@MengCheng Другое дело, что если мы напрямую заменим Е н ( т ) к Е н ( 0 ) , то мы фактически отбрасываем некоторые члены линейного порядка в возмущении В , что делает недействительным пертурбативное расширение U я вплоть до линейного порядка.
р ( т ) просто не равно е − β ЧАС ( т ) , поэтому замените ли вы Е н ( т ) к Е н ( 0 ) или нет не имеет значения.
извините, я должен получить это прямо. любые предложения или ссылки?

Ответы (1)

Вот набросок вывода формулы Кубо: Запишите полный гамильтониан ЧАС "=" ЧАС 0 + ЧАС ′ е − η т где ЧАС ′ является внешним (не зависящим от времени) возмущением и η → 0 . Мы хотели бы оценить ожидаемое значение оператора А ( т ) : ⟨ А ( т ) ⟩ "=" Т р [ р ( т ) А ( т ) ] . Итак, нам нужно сначала определить р ( т ) используя теорию возмущений. Сначала мы пишем р ( т ) "=" р 0 + р ′ ( т ) , и перейти к картинке взаимодействия (обозначенной нижним индексом я далее), например р "=" е − я ЧАС 0 т р я е я ЧАС 0 т . Тогда пертурбативная поправка р я ′ ( т ) можно найти, в ведущем порядке в ЧАС ′ ,

р я ′ ( т ) "=" я ∫ − ∞ т г т ′ [ р 0 , ЧАС я ′ ( т ′ ) ]

Тогда мы можем просто подключить р я ′ ( т ) в ⟨ А ( т ) ⟩ "=" Т р ( р ( т ) А ( т ) ) . Несложная алгебра дает вам формулу Кубо.

Спасибо за ответ. Действительно, раз у нас есть р я ′ ( т ) как и выше, мы можем прийти к желаемой форме формулы Кубо. Однако мне кажется, что ваш р я ′ ( т ) получается так: я г р я ′ ( т ) г т "=" я г р я ( т ) г т "=" [ ЧАС я ′ , р я ( т ) ] ≈ [ ЧАС я ′ , р я ( 0 ) ] "=" [ ЧАС я ′ , р 0 ] , считая, что возмущение включается при т "=" 0 . Это то, что вы сделали? если так, то приблизительная часть вызывает у меня дискомфорт.
Вот что я имел в виду под «наведением порядка в ЧАС ′ ". Мы занимаемся теорией возмущений, а значит будем получать ответы по порядку в возмущении. [ ЧАС ′ , р я ] "=" [ ЧАС ′ , р 0 ] + [ ЧАС ′ , р я ′ ] . Я должен был поставить небольшой параметр λ в ЧАС ′ , но предположим, что это так, тогда [ ЧАС ′ , р 0 ] имеет порядок λ , и [ ЧАС ′ , р я ′ ] порядка λ 2 . Таким образом, результат соответствует порядку λ .
Формула Кубо для общих наблюдаемых
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v