Сохранение углового момента в системе ракета-солнце-луна

Question

Сохранение углового момента в системе ракета-солнце-луна

физик23

Опишем ракету, летящую с Земли на Луну и обратно. Я хочу показать, что угловой момент ракеты сохраняется, чтобы сделать вывод, что движение ракеты ограничено двумерной плоскостью. Предположим, что Земля находится в начале координат, а Луна расположена в $\boldsymbol{r}_\mathrm{M} = d\boldsymbol{e}_1$ , где $d$ это расстояние между Землей и Луной.

Позволять $\Phi(\boldsymbol{r}) = -\gamma\left(\frac{m_\mathrm{E}}{|\boldsymbol{r}|}+\frac{m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|}\right)$ быть гравитационным потенциалом. Гравитационная сила читается

Ф (р) "=" - γ м_{р} (\frac{м_{Е}}{| р |^{3}} р + \frac{м_{М}}{| р - р_{М} |^{3}} (р - р_{М})) .

$\begin{equation} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = -\gamma m_\mathrm{R}\left(\frac{m_\mathrm{E}}{|\boldsymbol{r}|^3}\boldsymbol{r}+\frac{m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|^3}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M})\right). \end{equation}$ Однако угловой момент относительно начала координат не сохраняется, поскольку

\dot{л} "=" р \times Ф "=" \frac{γ м_{р} м_{М}}{| р - р_{М} |^{3}} р \times р_{М} .

$\begin{equation} \dot{\boldsymbol{L}} = \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F} = \frac{\gamma m_\mathrm{R} m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|^3}\,\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}_\mathrm{M}. \end{equation}$ Я также думал о выборе другой системы координат (например, центра масс), но это не сработало. Есть идеи, как это показать? Заранее спасибо!

Ответы (3)

Сохранение углового момента в системе ракета-солнце-луна

Клаудио Саспинский · Answer 1

Угловой момент сохраняется, если сила всегда указывает на систему COM, что означает: она радиальна, так что $\mathbf r \times \mathbf F = 0$ .

Это не относится к системе Земля-Луна. Например: любой объект рядом с Луной не попадет в систему COM, или космонавт не сможет ходить по поверхности Луны.

Праллакс · Answer 2

Законы сохранения часто исходят из симметрии гамильтониана. В этом случае для сохранения углового момента вам понадобится осесимметричный гамильтониан. Но система двух точечных масс не является осесимметричной, и поэтому, как вы обнаружили, угловой момент ракеты не сохраняется.

Если начальное положение и скорость ракеты, Луны и Земли лежат в одной плоскости, то можно ожидать, что движение будет ограничено этой плоскостью. В противном случае траектория будет трехмерной.

Интуитивным доказательством этого утверждения является то, что сила всегда лежит в плоскости, образованной $\vec{r}_M$ и $\vec{r}(t)$ , поэтому ракета не почувствует никакой силы, ортогональной плоскости. Если скорость тоже лежит в этой плоскости, то ракета не покинет плоскость и орбита плоская.

Несколько более строгое доказательство:

Орбита называется плоской, если она полностью содержится в плоскости. Это утверждение можно записать как

\begin{matrix} (1) & \exists \vec{ж} : (\vec{р} (т) - {\vec{р}}_{0}) \cdot \vec{ж} "=" 0 \end{matrix}

$\exists \vec{w} : (\vec{r}(t)-\vec{r}_0)\cdot\vec{w} = 0 \tag 1$ где

{\vec{r}}_{0}

$\vec{r}_0$ является начальным положением (в

t = 0

$t=0$ ) и

\vec{w}

$\vec{w}$ — вектор нормали к плоскости орбиты. Дифференцируя уравнение, получаем:

\begin{matrix} (2) & \dot{\vec{р}} (т) \cdot \vec{ж} "=" 0 \end{matrix}

$\dot{\vec{r}}(t) \cdot \vec{w} = 0 \tag 2$

\begin{matrix} (3) & \ddot{\vec{р}} (т) \cdot \vec{ж} "=" 0 \end{matrix}

$\ddot{\vec{r}}(t) \cdot \vec{w} = 0 \tag 3$

Это означает, что и скорость, и ускорение должны лежать в одной плоскости для всего движения.

Рассмотрим плоскость, образованную векторами $\vec{F}(\vec{r}_0)$ и $\vec{r}_M$ , и разреши $\vec{w} = \vec{F}(\vec{r}_0) \times \vec{r}_M$ . Легко видеть, что для каждой точки $\vec{r}$ на плоскости, уравнения $(1)$ и $(3)$ держать.

Если нам нужна плоская орбита, в этой точке необходимо выбрать начальную скорость так, чтобы $\vec{v}_0 \cdot \vec{w} = 0$ , и вы можете видеть, что через небольшое время

\vec{в} (дельта т) \cdot \vec{ж} "=" ({\vec{в}}_{0} + \dot{\vec{в}} дельта т) \cdot \vec{ж} "=" {\vec{в}}_{0} \cdot \vec{ж} + (\vec{Ф} ({\vec{р}}_{0}) \cdot \vec{ж}) дельта т / м "=" 0

$\vec{v}(\delta t) \cdot \vec{w} = (\vec{v}_0 + \dot{\vec{v}}\delta t) \cdot \vec{w} = \vec{v}_0 \cdot \vec{w} + (\vec{F}(\vec{r}_0) \cdot \vec{w}) \delta t/m = 0$

Другими словами, пока ракета находится на плоскости, ее скорость будет лежать на ней.

Спасибо. Я как раз и хочу описать то, что вы пишете во втором абзаце, но показать это математически мне не удалось. У вас есть идея?
Я знаю, последняя часть доказательства, которую я добавил, не является строгой. Но я не смог найти лучшего способа сказать это.

РВ Берд · Answer 3

Угловой момент системы; Земля, Луна и ракета могут быть сохранены. Угловой момент ракеты не может. На ракету будут действовать две силы. По крайней мере, один из них создаст крутящий момент относительно любой выбранной контрольной точки.

Сохранение углового момента в системе ракета-солнце-луна

физик23

Ответы (3)

Клаудио Саспинский

Праллакс

физик23

Праллакс

РВ Берд

Почему материя собирается в виде дисков вокруг массивных объектов? [дубликат]

Почему планеты вращаются только в одной плоскости? [дубликат]

Приближения на эллиптических орбитах

Откуда берется угловой момент Солнечной системы? [дубликат]

Появление нашей Солнечной системы

Как Луна попала на орбиту?

Почему эта планета (J1407 b) и кольцо Сатурна расположены на экваторе? [дубликат]

Сохранение углового момента в разных системах отсчета?

Гравитация и угловой момент

Если бы мы были на Луне, показалась бы Земля в движении или в покое?