Сохраняется ли механическая энергия при ускорении зарядов?

Сначала рассчитайте ускорение частиц из-за электростатического эффекта, предполагая, что радиационным эффектом можно пренебречь. Метод, который вы описали, подходит. Или просто посчитайте силу на них от электрического поля и разделите на их массу.

Затем подсчитайте, сколько излучения это произведет, предполагая, что это не сильно изменит их ускорение.

Теперь сравните эту энергию излучения с терминами электростатической потенциальной энергии и кинетической энергии из вашего исходного решения.

Если это незначительно, все готово. Электростатическое решение достаточно близко. (Определение «незначительно» и «достаточно близко» может зависеть от того, как вы собираетесь использовать результаты этого расчета).

Если энергия излучения не пренебрежимо мала, то вам, вероятно, потребуется использовать какое-либо численное моделирование, чтобы получить более близкое приближение к истинному ответу.

А именно, закон Кулона говорит нам, что на каждого действует сила, величина которой равна:

$$F(t)=\frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{d^2(t)}$$

Это точно неправильно! :) Как вы помните, закон Кулона применим к электростатической ситуации. Когда зарядам позволено двигаться, мы имеем заведомо динамическую ситуацию, и нельзя применить закон Кулона. Нужно было бы использовать полные уравнения Максвелла для решения электрических и магнитных полей, создаваемых одним зарядом в месте расположения другого заряда, а затем применить закон силы Лоренца, чтобы в конечном итоге найти силу, действующую на каждый из зарядов.

Можно найти электрические и магнитные поля, создаваемые обычно движущейся заряженной частицей, используя, например, потенциал Лиенара-Вихерта . Однако вы получите довольно связанную систему дифференциальных уравнений, учитывая, что каждый из зарядов движется и будет создавать силу на другую частицу, заданную потенциалом Льенара-Вихерта, который требует скорости и положения источника на удалении. время. Я предполагаю, что вам придется решить это численно.

Заряды ускоряются, и поэтому происходит излучение.

Это точно правильно. Полная энергия системы, очевидно, сохранится, но часть этой энергии будет находиться в форме излучения, которое уходит в бесконечность и, таким образом, не может рассматриваться как вклад в потенциальную энергию между двумя частицами. Итак, да, в этой ситуации нельзя использовать закон сохранения механической энергии, однако закон сохранения энергии все же применяется. Другими словами,

$$\int dV \bigg( \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2\bigg)+\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$$ все равно будет сохраняться (при нерелятивистской скорости частиц). Просто часть этой энергии в поле будет в виде излучения. Вы не сможете эффективно использовать это, потому что вам нужно будет решить для$E$и$B$использование полного динамического механизма уравнений Максвелла для фактического вычисления интеграла.

Наконец, как @ThePhotonуже указывалось, вы можете сделать приблизительный расчет, пока ваша оценка того, сколько энергии будет потеряно в излучении, низка по сравнению с полной механической энергией в начальном состоянии.

Механическая энергия не сохраняется, эта система имеет электромагнитное взаимодействие, поэтому часть энергии будет электромагнитной.

Заряды ускоряются, и поэтому происходит излучение. Это означает, что существует переменное во времени электрическое поле, которое генерирует переменное во времени магнитное поле, которое генерирует переменное во времени электрическое поле и так далее.

И электрическое, и магнитное поля зависят от времени, но это не значит, что одно создает другое. В простейшем варианте этой схемы (поля задаются запаздывающим решением) оба поля являются (разными) функциями прошлого движения частиц.

Эти вклады в электрическое поле не являются консервативными, так как их вихрь не равен нулю. Это означало бы, что размышления об электрической потенциальной энергии не имеют смысла, поскольку электрическое поле в этом случае не было бы электростатическим и, следовательно, не было бы консервативным (что приводит к бессмысленности идеи «электрического потенциала»).

Подожди. Верно, что полное электрическое поле не является консервативным. Но понятие электрической потенциальной энергии остается в силе, поскольку электрическое поле имеет легко определяемую кулоновскую часть. Кулоновская энергия, в общем случае, не дает точно полную ЭМ энергию, но это понятие можно использовать в любом случае. Есть просто другие вклады, такие как магнитная энергия и другая часть электрической энергии, которая не входит в кулоновскую энергию.

Итак, что происходит? Сохраняется ли механическая энергия? Если да, то как это возможно, если поля неконсервативны?

Начальная ЭМ энергия, заданная кулоновской формулой, непрерывно преобразуется в кинетическую энергию частиц и другую некулоновскую ЭМ энергию. Часть этой ЭМ энергии неизбежно уходит в окружающую среду (волны уходят в бесконечность).