Энергия ускоренного заряда?

Если мы предположим, что скорости значительно ниже релятивистской области, то в отсутствие излучения уравнение движения электрона будет просто:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} \tag{1}$$

где$E$напряженность поля и$q$и$m$- заряд и масса электрона.

Как говорит Лоуренс, мощность, испускаемая в виде излучения, определяется уравнением Лармура :

$$P = \frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} = \frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} \left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{2}$$

а поскольку мощность равна силе, умноженной на скорость, получается сила на заряде$P/v$и, следовательно, замедление$P/(vm)$. Итак, уравнение движения с учетом излучения:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} - \frac{1}{m\frac{dx}{dt}}\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{3}$$

Фу!

Не стесняйтесь пытаться найти решение, но пока давайте просто почувствуем задействованные количества. Возьмем напряженность поля$10^5$В / м, что примерно настолько велико, насколько мы можем обойтись без учета релятивистских поправок. В этом случае уравнение (1) дает нам:

$$a \approx 1.76 \times 10^{16} \,\text{m/s}$$

Подставляем это в уравнение (2) и получаем:

$$P \approx 1.76 \times 10^{-21} \,\text{W}$$

Помните, мы начали с того, что использовали напряженность поля$10^5$вольт на метр, поэтому изменение потенциальной энергии на метр равно$Vq$или около$1.6\times 10^{-14}$Дж. Таким образом, мы имеем разницу в семь порядков между приростом энергии электрона на метр и энергией, излучаемой в секунду. И это мы игнорируем энергию, теряемую на излучение в большинстве случаев.

В качестве примечания: излучение Лармура, безусловно, не всегда можно пренебречь. Ведь радиопередачи используют именно это явление - энергия, излучаемая на один электрон, мала, но, к счастью, в радиоантенне электронов много. Излучение Лармура также является причиной того, что ускоритель LEP нельзя было сделать намного более мощным, чем 200 ГэВ - энергия, излучаемая из-за кругового движения, делала его непомерно дорогим для любых более высоких энергий.

Формула Лармора происходит от вектора Пойнтинга

$$\vec S = \frac{c}{4\pi}\vec E\times\vec B$$ Электрическое поле в релятивистском содержании определяется потенциалом Лиенара-Вейхерта. $$\vec E = q\frac{\hat n - (\vec v/c)}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r^2} + \frac{q}{c}\frac{\hat n \times((\hat n - (\vec v/c)))\times\vec v_t/c}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r}$$ с $\vec v_t = d\vec v/dt$и $\vec B = \hat n\times\vec E$. Вычисление перекрестного произведения требует немного усилий, но результат $$\vec S = \frac{q^2}{4\pi c^3}\frac{(|\vec v_t|^2 - \hat n\cdot\vec v_t)\hat n }{r^2}$$ где конечно $|\vec v_t|^2 = a^2$Вектор Пойнтинга представляет собой скорость потока энергии. Затем это можно вывести, чтобы вычислить мощность, чтобы дать формулу Лармора $$P = \frac{2}{3}\frac{e^2a^2}{c^3}.$$

Почему на всех моих курсах ЭМ мне никогда не приходилось учитывать эту потерю энергии в виде электромагнитных волн?

В простых примерах, показанных во вводных курсах, пренебрегают потерей энергии заряженной частицей, движущейся во внешнем поле, через излучение, поскольку излучение ЭМ волн является сложной темой, и даже если им не пренебрегать, можно показать его влияние на движение частиц относительно мало.

Если вы выберете более продвинутый курс, такой как релятивистская электродинамика или проектирование антенн/ускорителей частиц, там обсуждается потеря энергии через излучение.

И есть ли способ узнать/рассчитать, сколько энергии было потеряно?

Да, если заряженное тело имеет ненулевые размеры (не является точкой), теорему Пойнтинга можно интерпретировать как теорему о работе-энергии, а если тело находится далеко от других тел (так что влияние других тел на работу Пойнтинга вектором можно пренебречь), можно вывести формулу Лармора. Формула Лармора говорит, что энергия, излучаемая ускоренным заряженным телом в секунду, равна

$$P = \frac{2}{3}\frac{Kq^2}{c^3}a^2$$

где$K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$,$q$является зарядом тела и$a$есть величина его ускорения.

Когда оцениваются потери энергии для электронов в ЭЛТ (старая вакуумная камера большого телевизора) или для электронов в микроскопе, получается очень небольшое число по сравнению с общей энергией электронов, поэтому в большинстве случаев этим эффектом пренебрегают. Где ей нельзя пренебречь, так это в ускорителях частиц - расчетные параметры движения таковы, что энергия, теряемая от одного сгустка частиц (один сгусток - это маленькое облачко из миллиардов частиц, которые движутся вместе) на одном витке, сравнима с энергией, которую машина может поставить.