Сомнение в вычислении тетрадного базисного вектора недиагонального метрического тензора

Стандартным способом получения ортонормированного базиса (тетрады) из произвольного линейно независимого базиса (например, координатного базиса) в пространстве скалярных произведений (метрическом) является ортонормирование Грама-Шмидта .

Вы можете просто выполнить эту процедуру в каждой точке, начиная с базиса координат, что даст вам одну из многих возможных ортонормированных тетрад. Если вам нужен другой, вы можете применить локальное преобразование Лоренца.

Я считаю, что для ЛЮБОГО заданного метрического тензора (диагонального или нет) вектор, который вы даете в (1), будет элементами базы (они также нормализованы), в которой написан ваш метрический тензор, но они просто линейно независимы, но нет необходимый ортогональный.

Они будут ортогональны только в том случае, если заданный вами метрический тензор является диагональным, в противном случае, как и в написанной вами метрике Керра, вы можете видеть, что в (1) e_0 не ортогонален e_3 с использованием метрики Керра во внутреннем продукте. Теперь векторы в (2) — это просто алгоритм Грама Шмидта для создания ортонормированного базиса (2) из ​​неортогонального базиса (1).

А теперь, если вы запишете керровую метрику на новом базисе (2), вы увидите, что матрица будет диагональной. Более простой способ увидеть это - сделать замену$t=Nt'-w\phi$и увидеть, что между$dt'$и$d\phi$

Вот как бы я это сделал. Пусть мой$g$быть моим метрическим тензором. Что касается выбранной системы координат, я могу записать это как

$$g = g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^\mu \otimes \mathrm{d}x^\nu$$

как у вас в части II вашего вопроса, где$\mu , \nu$являются индексами координат. Задайте базисные векторы тетрады как

$$e_a = e_a^{\ \mu} \frac{\partial}{\partial x^\mu}, \quad a = 0,1,2,3.$$

По определению тетрада является ортонормированным базисом, поэтому они должны удовлетворять$g(e_a , e_b) = \eta_{ab}$, где$\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$является метрикой Минковски. В терминах компонентов это соотношение читается

$$e_a^{\ \mu} e_b^{\ \nu} g_{\mu \nu} = \eta_{ab}$$

Другими словами, тетрадный базис диагонализует метрику. Таким образом, нахождение тетрадного базиса эквивалентно нахождению матрицы$e_a^{\ \mu}$который диагонализует матрицу$g_{\mu \nu}$! Как только вы нашли это, вы можете подключить компоненты$e_a^{\ \mu}$обратно в выражение для тетрады выше.

Для вашего примера у вас есть метрика формы

$$g = -A^2 \mathrm{d}t^2 + B^2 \mathrm{d}r^2 + C^2 \left[ \mathrm{d}\theta^2 + D^2(\mathrm{d}\phi - E \mathrm{d}t )^2 \right]$$

Компоненты$g_{\mu \nu}$в вашем случае

$$g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} -A^2 + C^2 D^2 E^2 & 0 & 0 & -C^2D^2E \\ 0 & B^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C^2 & 0 \\ -C^2 D^2 E & 0 & 0 &C^2 D^2 \end{pmatrix}$$

который диагонализируется

$$e_a^{\ \mu} = \begin{pmatrix} \frac{1}{A} & 0 & 0 & \frac{E}{A} \\ 0 & \frac{1}{B} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{CD} \end{pmatrix}$$

что дает вам компоненты ваших четырех векторов тетрады в вашем уравнении (2).

Поскольку метрические тензоры являются симметричными тензорами, вы всегда можете диагонализовать их, чтобы найти тетраду, а компоненты тетрады задаются строками матрицы, которая ее диагонализует.

Кстати, в общем случае вы не сможете найти ни одного тетрадного поля, покрывающего все ваше пространство-время, иначе это означало бы, что ваше пространство-время на самом деле тривиально Минковского! Кроме того, тетрадный базис не единственен и определен с точностью до преобразования Лоренца, т.е. если$\{ e_a \}$является тетрадным базисом, то$\{ e'_a = \Lambda_a^{\ b} e_b \}$, где$\Lambda$является преобразованием Лоренца.