Спуск на любую орбиту: какая требует меньше дельта-v, широкая или узкоэллиптическая?

Есть два разных сценария, которые я рассмотрю:

• Выход на круговую орбиту с большой высоты.
• Выход на эллиптическую орбиту с малой высоты.

Выход на круговую орбиту с малой высоты всегда будет потреблять больше топлива, чем выход на эллиптическую орбиту, так как вы должны выйти на эллиптическую переходную орбиту того же размера (используя тот же$\Delta v$), а затем сделайте дополнительный импульс в апоапсисе, чтобы сделать орбиту круговой. (Использование аэродинамического торможения для замены первоначального горения изменит это.)

Точно так же выход на эллиптическую орбиту с большой высоты всегда требует больше топлива, чем выход на круговую орбиту, поскольку эллиптическая орбита будет иметь меньшую скорость в апоапсисе, что требует большего$\Delta v$.

Я сделаю предположение, что гиперболическая избыточная скорость ($v_\infty$) при входе одинакова для обоих случаев, что все пересечения орбит параллельны (без изменений плоскости) и что все ожоги мгновенны.

---

Круговая орбита радиусом$r_a$требуется скорость$v_\text{circ}=\sqrt{\mu/r_a}$. Нахождение скорости входа с использованием закона сохранения энергии:

$$\frac{v_\infty^2}{2} = \frac{v_\text{entry}^2}{2} - \frac{\mu}{r_a} \\ v_\text{entry} = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_a}}$$

The $\Delta v$требуется просто разница между ними:

$$\Delta v_\text{circ} = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_a}}-\sqrt{\frac\mu{r_a}}$$

---

Во втором сценарии у нас есть перицентральная скорость:

$$v_p = \sqrt{\frac{2\mu}{r_a+r_p}\frac{r_a}{r_p}}$$

Скорость входа почти одинакова, с$r_p$на месте$r_a$, что дает нам:

$$\Delta v_\text{ellip} = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p}}-\sqrt{\frac{2\mu}{r_a+r_p}\frac{r_a}{r_p}}$$

---

Теперь найдем, при каких условиях$\Delta v_\text{ellip} < \Delta v_\text{circ}$:

$$\Delta v_\text{ellip} < \Delta v_\text{circ} \\ \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p}}-\sqrt{\frac{2\mu}{r_a+r_p}\frac{r_a}{r_p}} < \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_a}}-\sqrt{\frac\mu{r_a}}$$

Я сделаю замены$v_\infty^2\to \alpha\mu/r_a$и$r_p\to\beta r_a$чтобы немного помочь нам.

$$\sqrt{\frac{\alpha\mu}{r_a} + \frac{2\mu}{\beta r_a}}-\sqrt{\frac{2\mu}{r_a+\beta r_a}\frac{r_a}{\beta r_a}} < \sqrt{\frac{\alpha\mu}{r_a} + \frac{2\mu}{r_a}}-\sqrt{\frac\mu{r_a}}$$

Теперь отнимем множитель$\sqrt{\mu/r_a}$(что положительно, поэтому не влияет на неравенство):

$$\sqrt{\alpha + \frac{2}{\beta}}-\sqrt{\frac{2}{\beta\left(1+\beta\right)}} < \sqrt{\alpha + 2}-1$$

Отношение к левой стороне как к функции$\beta$:

$$f(\beta) = \sqrt{\alpha + \frac{2}{\beta}}-\sqrt{\frac{2}{\beta\left(1+\beta\right)}}$$

У нас есть:

$$f(1) = \sqrt{\alpha + 2} - \sqrt{\frac{2}{1\cdot 2}} = \sqrt{\alpha + 2} - 1$$

Подставляя в наше неравенство, мы теперь должны только доказать:

$$f(\beta) < f(1)$$

Обратите внимание, что поскольку$0<r_p<r_a$, мы знаем это$\beta\in(0,1)$. Глядя на производную от$f$:

$$f'(\beta) = -\frac{1}{\beta^2\sqrt{\alpha+2/\beta}}+\frac{\beta+(1+\beta)}{\beta^2(1+\beta)^2}\sqrt{\frac{\beta(1+\beta)}{2}}$$

Мы можем проверить это$f'(\beta)>0$:

$$\frac{1}{\beta^2\sqrt{\alpha+2/\beta}} < \frac{\beta+(1+\beta)}{\beta^2(1+\beta)^2}\sqrt{\frac{\beta(1+\beta)}{2}}$$

Поскольку обе стороны положительны, мы можем возвести обе стороны в квадрат, не влияя на неравенство:

$$\frac{1}{\beta^4(\alpha+2/\beta)} < \frac{\left(\beta+(1+\beta)\right)^2\beta(1+\beta)}{2\beta^4(1+\beta)^4} \\ \frac{1}{(\alpha+2/\beta)} < \frac{(1+2\beta)^2\beta}{2(1+\beta)^3} \\ 2(1+\beta)^3 < (\alpha\beta+2)(1+2\beta)^2 \\ 2\beta^3+6\beta^2+6\beta+2 < 4\alpha\beta^3 + (4\alpha+8)\beta^2 + (\alpha+8)\beta + 2 \\ 0 < (4\alpha-2)\beta^3 + (4\alpha+2)\beta^2 + (\alpha+2)\beta \\ 0 < 4\alpha\beta^2(1+\beta) + 2\beta^2(1-\beta) + (\alpha+2)\beta$$

Все три члена положительны, когда$\alpha>0$и$\beta\in(0,1)$, так$f'(\beta)$всегда положительный. Это означает, что его максимум должен приходиться на правую конечную точку,$f(1)$, так что$f(\beta)<f(1)$для всех рассматриваемых значений.

Таким образом, эллиптическая орбита всегда более эффективна .

---

Наибольшая разница между двумя орбитами заключается в том, когда$\alpha=2$(то есть,$v_\infty=v_\text{esc}$в апоцентре), где имеем:

$$\frac{\Delta v_\text{circ}}{\Delta v_\text{ellip}} = \frac 1{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac 1\beta}$$

Что ж, давайте подумаем об этом логически. Скажем, вы сидите в космическом корабле в облаке Оорта, вращающемся вокруг Солнца с очень неторопливой скоростью около 3 м/с, что эквивалентно скорости бега трусцой. Совсем не нужно большого дельта-V, чтобы остановиться и упасть прямо на солнце. При таком длительном падении небольшая корректировка позволит нам выбрать, какую планету мы хотим перехватить.

Теперь мы приближаемся снаружи, быстро.

Ясно, что НАМНОГО проще выйти на узкую эллиптическую орбиту. Чтобы выйти на круговую орбиту, вам придется подождать, пока вы не окажетесь на этом орбитальном расстоянии от целевой планеты, а затем запустить свои ракеты, чтобы преодолеть всю скорость, полученную при падении из облака Оорта.

Нацелившись ближе к планете (НАМНОГО ближе), мы можем совершить аэрококк в атмосфере планеты и таким образом снизить большую часть скорости. На самом деле мы не на стабильной орбите, мы либо снова улетим в космос (если все еще будем двигаться с космической скоростью относительно планеты), либо впоследствии врежемся в планету без корректирующего прожига (но мы всегда можем сделать корректирующий прожиг).

Я знаю, что эффект Оберта не совсем интуитивен, но подумайте об этом таким образом, и я уверен, что он будет иметь смысл; когда мы приближаемся быстро, у планеты не так много времени, чтобы притянуть нас, поэтому она не может сильно увеличить нашу скорость. Поэтому мы приближаемся очень быстро и не набираем большой скорости. Когда мы приближаемся к планете, мы запускаем наши двигатели, чтобы максимально замедлить ее. Теперь мы выходим из-под влияния планеты медленнее, чем вошли в него, и гравитация планеты имеет больше времени, чтобы замедлить нас, поэтому мы теряем больше скорости, покидая планету, чем приобретаем при приближении к ней.

Теперь, если, находясь еще довольно далеко от планеты, мы запустили наши тетры, то из-за того, что мы замедлили наше приближение, гравитация планеты имеет больше времени, чтобы притянуть нас и увеличить нашу скорость. Когда мы выходим из-под влияния планеты, у планеты есть ровно столько же времени, чтобы уменьшить нашу скорость.

Аффект Оберта, по сути, заключается в минимизации или максимизации количества времени, сильно «притягиваемого» планетой. Это связано с тем, что в соответствии с основным исчислением Ньютона скорость равна ускорению, умноженному на время, и чем больше времени мы ускоряемся, тем большую скорость мы приобретаем. Чем меньше времени мы ускоряемся, тем меньшую скорость мы приобретаем. Ракеты сжигают свое топливо как можно ближе к Земле, поэтому они сводят к минимуму время в самой сильной гравитации, ближайшей к Земле. Гравитация НЕ похожа на сопротивление, она не притягивает вас сильнее, чем быстрее вы движетесь — она притягивает вас одинаково (на заданном расстоянии), как бы быстро вы ни двигались. Вот почему эффект Оберта работает, а также почему он может быть не интуитивным, потому что мы часто думаем о гравитации как о «торможении» ракет, но это не так.