Существует ли аналог вектора Рунге-Ленца для трехмерного сферически-симметричного гармонического потенциала?

Да есть аналог вектора Лапласа-Рунге-Ленца, тем более! N - мерный гармонический осциллятор является одной из немногих суперинтегрируемых систем, где у вас есть максимальное число (2 N - 1) независимых констант движения, что приводит к замкнутым траекториям в классической механике и вырождениям спектра в КМ. Просто осцилляторы более высоких размерностей разделены, и их решение тривиально, поэтому долгое время люди игнорировали их симметрию. Хорошо, фактическая симметрия даже для классического осциллятора равна U(N) , поэтому геометрические построения (Саенс) требуют комплексных векторов, но не будем на них останавливаться.

Но, напомним, в случае вектора LRL большинство сохраняющихся зарядов являются зависимыми, поэтому в случае кулоновского потенциала независимых зарядов всего 5, несмотря на симметрию SO(4), с 6 образующими сверху гамильтониана, 3 угловых момента, L и 3 компонента вектора LRL, A . Тем не менее, этот вектор подчиняется двум ограничениям с L и E , поэтому независимых зарядов 5: E , L и только один из 3 компонентов A. Таким образом, траектория в 6D фазовом пространстве представляет собой линию, пересечение 5 гиперповерхностей. Фу! еще один, и он бы пересек его в точке фазового пространства и заморозил эволюцию! Таким образом, мы можем использовать A целиком , будучи уверенными, что два его компонента зависят от всех остальных.

Хорошо, теперь, для конкретики, и в соответствии с вашим вопросом, давайте посмотрим на гармонический осциллятор в 3D, то есть в 6D фазовом пространстве, установив m =1= ω , т.е. поглощая те, что в наших единицах измерения:

$$H=(p_x^2 + x^2 + p_y^2 + y^2 + p_z^2 + z^2 )/2.$$ Удивительно, но его группа симметрии — SU(3) с 8 зарядами. Два из них очевидны: за пределами E они, скажем, $E_x= (p_x^2 + x^2 )/2$а также $E_y= (p_y^2 + y^2 )/2$, подалгебра Картана заряжает! Конечно, $E_z$зависит от них, $=E-E_x-E_y$.

Мы могли бы потратить много времени на подбор и выбор остальных, но вы можете убедиться сами, взяв их PB с гамильтонианом выше, чем вращение вокруг оси z ,

$$L_z= x p_y-y p_x,$$ и один вокруг оси x , $$L_x= y p_z-z p_y,$$ сохраняются; может потребоваться немного больше работы, чтобы показать, что оставшиеся генераторы SU (3) на самом деле зависят от этих 5 перечисленных, но это то, что сделали пионеры:

• Яух и Хилл, 1940 г.

• Бейкер 1956

• А. В. Саенс 1949, Об интегралах движения типа Рунге в классической и квантовой механике , докторская диссертация Мичиганского университета.

Наконец, снисходительность, Curtright & Zachos 2003 ; онлайн : обвинения организованы так, чтобы тривиально продемонстрировать, что это, как и все максимально суперинтегрируемые системы, наиболее элегантно выражается в терминах скобок Намбу , а не PB, после естественного приведения к dimidium - но можно утверждать, что это вишенка на поверхности. кекс. С другой стороны, это то, о чем вы, по сути, просите. Разделимые осцилляторы явно решаются путем проверки и не требуют мощных методов. Наоборот, они могут служить иллюстрацией и упорядочением такого рода. Это они делают.

Изменить на QM : Квантово-механическая структура SU (3) более узнаваема. Использование триплетов оператора создания$a^\dagger_i$в карте Джордана-Швингера указанные выше 5 инвариантных зарядов составляют насыщенные билинейные матрицы Гелл-Манна:$a^\dagger \!\!\cdot a; ~ a^\dagger \lambda_3 a; ~a^\dagger \lambda_8 a; ~a^\dagger \lambda_2 a; ~ a^\dagger \lambda_7 a$.