Существует ли «более строгий» вывод электростатических граничных условий?

Сегодня я думаю, что могу сам ответить на этот вопрос, и, учитывая возродившийся к нему интерес, я так и сделаю. Если обнаружится, что что-то не так, комментарии приветствуются.

Причина вопроса в том, что Гриффитс был неточен, он дал идею доказательства, но не математическую строгость деталей. Во-первых, давайте лучше сформулируем, какой результат мы хотим доказать:

Теорема: Пусть$\mathbf{E}$быть электростатическим полем, т. е., в частности, подчиняться закону Гаусса в интегральной форме. Позволять$S\subset \mathbb{R}^3$быть одной заряженной поверхностью с поверхностным зарядом$\sigma : S\to \mathbb{R}$и с нормальным$\mathbf{n}_0 : S\to T\mathbb{R}^3$. Тогда, если$p\in S$он держит

$$\lim_{\epsilon\to 0}\mathbf{E}(p+\epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p)-\mathbf{E}(p-\epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot\mathbf{n}_0(p)=\dfrac{\sigma(p)}{\epsilon_0}.$$

Мы собираемся показать это, используя идею Гриффита, но с деталями. Сначала построим «тонкий гауссовский дот» и воспользуемся законом Гаусса.

Брать$p\in S$точку на поверхности. Позволять$\mathbf{n}_0 : S\to T\mathbb{R}^3$— нормальное векторное поле поверхности. Тогда пусть$U\subset S$быть открытым, содержащим$p$, и рассмотрим следующий набор точек$\mathbb{R}^3$

$$\mathcal{D}_U(\epsilon)=\{q\in \mathbb{R}^3 : q = q_0 + \lambda \mathbf{n}(q_0),\quad q_0\in U,\lambda \in [-\epsilon,\epsilon]\}$$

Другими словами: выберите район$p$на поверхности. Возьмите каждую точку окрестности и «выйдите из$S$от него" в обе стороны. Это "гауссовский дот".

Определите также$\mathcal{D}_U^\lambda(\epsilon)$быть подмножеством$\mathcal{D}_U(\epsilon)$соответствующий одному конкретному$\lambda\in [-\epsilon,\epsilon]$. Должно быть ясно, что площадь удовлетворяет$A(\mathcal{D}_U^\lambda(\epsilon))=A(U)$.

Сейчас,$\mathcal{D}_U(\epsilon)$представляет собой трехмерный объем с границей$\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)$. Проанализируем его границу. По построению его границу можно разделить на три части

$$\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)= \mathcal{D}_U^\epsilon(\epsilon)\cup \mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon)\cup \mathcal{W}_U(\epsilon)$$

первое и второе слагаемые - это соответственно верхняя и нижняя крышки, а третье,$\mathcal{W}_U(\epsilon)$стена состоит из выбора линии, ограничивающей$U$и двигая его прямо вверх и вниз. Стена имеет площадь$A(\mathcal{W}_U(\epsilon))=2\ell\epsilon$, где$\ell$длина кривой, ограничивающей$U$.

Собрав их вместе и вспомнив единственный заряд внутри$\mathcal{D}_U(\epsilon)$это тот, что с поверхности, закон Гаусса

$$\int_{\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\int_{U} \sigma dA$$

можно переделать как

$$\int_{\partial \mathcal{D}_U^\epsilon(\epsilon)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}+\int_{\partial \mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon)} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} + \int_{\mathcal{W}_U(\epsilon)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\int_U \sigma dA.$$

Теперь применим теорему о среднем значении для интегралов с обеих сторон. Это дает$p^\pm \in \mathcal{D}_U^{\pm \epsilon}(\epsilon)$на верхних/нижних веках,$q\in \mathcal{W}_U(\epsilon)$и$p'\in U$такое, что уравнение принимает вид

$$\mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) A(\mathcal{D}_U^{\epsilon}(\epsilon))-\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) A(\mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon))+\mathbf{E}(q)\cdot \mathbf{n}_W(q) A(\mathcal{W}_U^{\epsilon}(\epsilon))=\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}A(U).$$

где мы использовали, что нормали$\mathcal{D}_U^{\pm \epsilon}(\epsilon)$просто$\mathbf{n}_0$скопировано, и с перевернутым направлением на нижней крышке, а нормаль стены$\mathbf{n}_W$. Вставка того, что мы знаем об областях, дает

$$\mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) A(U)-\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) A(U)+\mathbf{E}(q)\cdot \mathbf{n}_W(q) 2\ell \epsilon =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}A(U).$$

Наконец взяв$\epsilon\to 0$урожаи

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) -\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}.$$

Теперь обратите внимание, что с тех пор$p^{\pm} \in \mathcal{D}^{\pm \epsilon}_U(\epsilon)$Это должно быть$p^+ = p_0 + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0)$и$p^- = p_0' - \epsilon \mathbf{n}_0(p_0')$. Это, в свою очередь, дает результат

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p_0 + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0))\cdot \mathbf{n}_0(p_0) -\mathbf{E}(p_0' - \epsilon \mathbf{n}_0(p_0'))\cdot \mathbf{n}_0(p_0') =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}.$$

До сих пор мы оставили$U$произвольно и, следовательно, верно для любого такого$U$. Рассмотрим сейчас$U = B(p,1/n) \cap S$открытый шар с центром в$p$радиуса$1/n$. Результаты будут зависеть от$n$конечно. Таким образом, мы будем иметь$p_0 = x_n$,$p_0' = y_n$и$p' = z_n$. Тогда уравнение становится

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(x_n + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0))\cdot \mathbf{n}_0(x_n) -\mathbf{E}(y_n - \epsilon \mathbf{n}_0(y_n))\cdot \mathbf{n}_0(y_n) =\dfrac{\sigma(z_n)}{\epsilon_0}.$$

Наконец возьми$n\to \infty$сокращается до$p$. С$x_n,y_n,z_n\in B(p,1/n)$все эти последовательности сходятся к$p$. Предполагая гладкость всего, что можно поменять местами пределы, получаем результат

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p + \epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p) -\mathbf{E}(p- \epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p) =\dfrac{\sigma(p)}{\epsilon_0},$$

как мы и хотели доказать.