Существуют ли необходимые и достаточные условия эргодичности?

интегрируемость, хаос и нелинейность тесно связаны с эргодичностью. Существует ли набор условий, связывающих эти понятия с эргодичностью?

Да.

Чтобы демонстрировать хаос, система должна быть нелинейной : либо через явно нелинейный член, либо косвенно, например, когда нелинейность возникает из-за частичного дифференцирования или временной задержки.

В общем, хаос и непредсказуемость на самом деле являются вопросом степени, а не резким различием между хаотическими и нехаотическими системами. Это хорошо выражается эргодической иерархией :

где я опускаю различные степени смешения. Системы Бернулли являются наиболее хаотичными, эквивалентными картам сдвига. Системы Колмогорова (часто просто К-системы ) имеют положительные показатели Ляпунова и соответствуют тому, что чаще всего считается хаотической системой . Системы (сильно) перемешивания интуитивно обладают поведением, подразумеваемым их названием, и, хотя они не обязательно имеют экспоненциально расходящиеся траектории, существует определенная степень непредсказуемости, позволяющая называть их слабо хаотическими . С другой стороны, эргодические системы имеют временные корреляции, которые не обязательно затухают, поэтому они явно не хаотичны.

Следовательно, если система хаотична, она обязательно эргодична. Но необходимо сделать важное замечание: хотя большинство систем хаотичны, они редко хаотичны во всем своем фазовом пространстве. Таким образом, мы обычно ограничиваем наше внимание доступными областями. Когда в этом нет необходимости, обычно это указывается полностью квалификатором (хаотический, эргодический и т. д.).

Что касается вопроса заголовка:

Существуют ли необходимые и достаточные условия эргодичности?

Боюсь, это математический вопрос , и, к сожалению, не существует никаких условий, кроме условий различных эквивалентных определений эргодичности. Конкретные примеры доказательств эргодичности можно найти в учебниках по эргодической теории (заметки Чарльза Уокдена по эргодической теории доступны в Интернете ( pdf1 , pdf2 )).