Важность периодических орбит

При изучении динамических систем часто говорят о решениях, которые повторяются через определенное время, отсюда и их название « периодические орбиты ». Затем переходят к различению «устойчивых» (например, гармонический двумерный маятник) или « неустойчивых » периодических орбит.

Первый вопрос:

  • Все ли динамические системы (интегрируемые или нет) обладают устойчивыми и неустойчивыми периодическими орбитами, и если да, то почему периодические орбиты присущи всем системам? (например, демонстрирует ли нехаотический 2D простой маятник неустойчивые периодические орбиты?)

Второй вопрос:

  • Почему при изучении динамических систем (а именно хаотических ) так много внимания уделяется изучению периодических орбит (решений) системы (будь то устойчивой или неустойчивой) вместо других типов решений, которые можно найти ( например, любая замкнутая орбита, не являющаяся периодической, или другие типы)?

Ответы (1)

1-й вопрос:

Да, все системы имеют области периодического (или почти периодического , или изолированного периодического ) движения. Для интегрируемых систем это ожидаемо. Но на самом деле существование изолированных периодических решений есть форма неинтегрируемости (в том числе и по второму вопросу). Для точного значения изолированного периодического решения проверьте ссылку на интегрируемость выше.

Учитывая устойчивость, да, все системы (интегрируемые или нет) могут иметь устойчивые или неустойчивые периодические решения, конечно, для нелинейных хаотических систем это норма.

Простой нехаотический двумерный маятник не имеет неустойчивых периодических орбит (однако у него есть неустойчивые точки равновесия).

2-й вопрос:

Возможно, вы захотите проверить КАМ-теорию , которая просто утверждает, что неинтегрируемая система, близкая к интегрируемой, будет иметь области, в которых орбиты поддерживаются (или, другими словами, любое достаточно малое возмущение вдали от интегрируемой системы может быть изучается теорией КАМ с использованием периодических орбит или инвариантных торов в фазовом пространстве)

ОБНОВЛЯТЬ:

Устойчивые периодические решения (согласно рассматриваемым ссылкам) - это периодические решения, которые динамически устойчивы, другими словами, если слегка возмущены, орбита останется близкой к исходной,

Неустойчивыми периодическими решениями называются те периодические решения, которые не являются устойчивыми в предыдущем смысле.

Изолированные периодические решения - это специальные виды решений, которые относятся к тестам на неинтегрируемость для некоторых частных случаев гамильтонианов.

Почти периодические решения — это решения, периодические в вероятностном смысле. Это означает, что система возвращается не точно в ту же точку, а близко к ней с вероятностью 1 в определенные периоды времени.

Другая ссылка об (измерении) хаоса в гамильтоновых системах http://www.staff.science.uu.nl/~verhu101/SAMOSpap.pdf

ЗАМЕЧАНИЕ, однако, что единственные центральные силы вида Ф "=" − к р н которые имеют стабильные орбиты, это те, которые имеют н "=" 1 или − 2
@user929304 user929304, согласно ссылке, изолированное периодическое движение является тестом на неинтегрируемость (для некоторых гамильтоновых систем)
@user929304, тесты или определение хаоса относятся к показателям лайпунова (которые сами относятся к неустойчивым периодическим решениям), изолированные периодические решения в ответе относятся к тестам на неинтегрируемость, вы спрашиваете о связи между хаотическими системами и не- интегрируемые системы?
@ user929304: правильный вывод этого результата - целая глава книги по классической механике Ландау / Лифшица. Я отсылаю вас туда, если вам интересно. И действительно, если вас интересуют подобные вопросы, у вас уже должна быть книга Ландау/Лифшица.
@user929304 user929304, я не уверен, бильярд является основным примером эргодических систем, которые могут демонстрировать сложное поведение (но также включают более простые орбиты), мне нужно было бы посмотреть более тщательно, если бы я мог обновить вопрос, чтобы сделать что-то более понятным ( в моем понимании) я могу сделать это
@user929304 user929304, если вам нужна приблизительная оценка (из рисунков) о 8 эллиптических бильярдах , я бы сказал, что первые 2 демонстрируют почти периодическое движение, устойчивые периодические решения - это решения с многоугольными огибающими, число 4 нестабильно.
@user929304, 1) ну да, можно сказать, что в каком-то смысле, 2) карта Пуанкаре - это срез фазового пространства для конкретных значений параметров (чтобы в некотором смысле визуализировать орбиты в сложных системах), эллипсы не делают не соответствуют квазипериодическим орбитам (эллипсы - это просто деформированные окружности), кривая на карте Пуанкаре соответствует устойчивой орбите, хаотические области появляются как плотные точки (цитата "Если начальная точка находится внутри эллиптического острова, ее траектория ограничена на 1-й кривой ") и т.д..
@user929304 user929304, ну, эти наблюдения грубые и общие, невозможно объяснить все закономерности и сложности (которые могут потребовать обширных расчетов) в вопросе или комментарии, возможно, получить некоторые ссылки на нелинейную динамику (книга Ландау / Липшица - это хорошее введение, есть и другие, более конкретные, конечно), надеюсь, что это полезно
«Да, во всех системах есть области периодического (или почти периодического, или изолированного периодического) движения». Неправда — сколько периодических орбит (или почти периодических орбит и т. д.) делает Икс ˙ "=" 1 иметь?
Важность периодических орбит
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v