Метрическое пространство называется однородным, если для любых двух точек существует глобальная изометрия, переводящая одну в другую. Оно локально однородно, если любые две точки имеют изометрические окрестности, т. е. пространство вблизи них «выглядит одинаково». Возьмем открытый плоский диск, он явно локально однороден, но глобальной изометрии, отображающей его центр в любую другую точку, нет. Однако вблизи границы диск неполный, и если мы его заполним, граничные точки уже не будут «выглядеть так же», как внутренние.
Может ли полное связное риманово многообразие быть локально однородным, но не однородным? А закрытый? Подозреваю, что да, но не могу вспомнить ни одного примера.
В космологии локально однородное обычно просто называют однородным, но мне интересно, соответствует ли это математическому использованию даже для «хороших» пространств.
Любые два римановых многообразия с постоянной секционной кривизной локально однородны (в нормальных координатах имеется явное описание метрики, а путем составления двух нормальных систем координат вокруг двух разных точек получается локальная изометрия). Однако такие пространства не обязательно должны быть однородными.
Например, рассмотрим замкнутую ориентированную поверхность рода с римановой метрикой постоянной кривизны . Вы можете выбрать совместимую почти сложную структуру что будет честной сложной структурой, потому что мы находимся в двумерном случае. Изометрии, сохраняющие ориентацию, являются, в частности, конформными отображениями и, таким образом, являются биголоморфизмами но результат Гурвица показывает, что эта группа биголоморфизмов такой поверхности конечна и, в частности, не может быть однородным.
скоро
Ной Швебер
Конифолд