Связь между координатным временем и собственным временем

Question

Связь между координатным временем и собственным временем

Таптик

Пока я читал книгу Та-Пей Ченга по теории относительности, мне не удалось вывести правильное соотношение между координатным временем и временем. $dt$ (в книге оно определяется как время, измеряемое часами, расположенными в $r=\infty$ от источника гравитации) и собственное время $d\tau$ из определения метрики.

В книге говорится, что для слабого и статического гравитационного поля $g_{00}(r)=-\left(1+\frac{2\Phi(r)}{c^2}\right)$ (с метрической подписью $(-1,1,1,1)$ и $\Phi(r)$ есть гравитационный потенциал) и собственное время $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt$ .

Из результата гравитационного красного смещения я знаю, что приведенный выше результат верен (в более однозначной форме $d\tau=\sqrt{-g_{00}(r_\tau)}\,dt$ ).

Однако, если я просто воспользуюсь формулой пространственно-временного интервала $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ (предполагая, что двое часов, которые измеряют собственное время и координатное время, покоятся друг относительно друга), я

г с^{2} "=" г_{00} (р_{т}) с^{2} г т^{2} "=" г_{00} (р_{т}) с^{2} г т^{2} "=" - с^{2} г т^{2} ⟹ \sqrt{- г_{00} (р_{т})} г т "=" г т

$ds^2=g_{00}(r_\tau)c^2d\tau^2=g_{00}(r_t)c^2dt^2=-c^2dt^2\\ \implies \sqrt{-g_{00}(r_\tau)}\,d\tau=dt$ Это говорит о том, что время течет быстрее с более низким гравитационным потенциалом, что неверно.

Я не уверен, почему приведенный выше метод привел к неправильному выводу, я неправильно понял определение собственного времени, координатного времени или пространственно-временного интервала?

Обновлять:

Одна ошибка, которую я сделал, позволил $ds^2=g_{00}(r_\tau)c^2d\tau^2$ , который должен быть $ds^2=-c^2d\tau^2$ по определению . Тем не менее, я смущен двумя определениями $ds^2$ сейчас. $ds^2=-c^2d\tau^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ , это говорит о том, что $g_{00}$ всегда $-1$ для системы отсчета собственного времени, но в моей задаче $g_{00}$ является функцией $r$ который равен только $-1$ если $r=\infty$ , как два из них могут быть истинными одновременно?
Предполагая $ds^2=-c^2d\tau^2$ верно, так как все ответы указывали на то, что $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt$ . Но по определению $g_{00}$ и $ds^2$ в $g_{00}$ здесь должно быть $-(1+2\Phi(r_t)/c^2)=-1$ , но я хочу $g_{00}$ здесь, чтобы быть $-(1+2\Phi(r_\tau)/c^2)$ так что $г т "=" \sqrt{- г_{00}} г т "=" \sqrt{1 + 2 Φ (р_{т}) / с^{2}} г т \approx (1 + Φ (р_{т}) / с^{2}) г т ⟹ \frac{г т - г т}{г т} "=" \frac{Φ (р_{т})}{с^{2}} "=" \frac{Φ (р_{т}) - Φ (р_{т})}{с^{2}}$ $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt=\sqrt{1+2\Phi(r_\tau)/c^2}\,dt\approx (1+\Phi(r_\tau)/c^2)\,dt\\ \implies \frac{d\tau-dt}{dt}=\frac{\Phi(r_\tau)}{c^2}=\frac{\Phi(r_\tau)-\Phi(r_t)}{c^2}$

Пожалуйста, поправьте меня, если я сделал какие-либо ошибки!

Ответы (3)

Связь между координатным временем и собственным временем

Румпельстилскин · Answer 1

Каждый раз, когда я пытаюсь думать о замедлении времени, сокращении длины или любом другом странном явлении, предсказанном этой удивительно красивой теорией, я путаюсь!! К счастью, у нас есть метрика, которая все думает за нас. В координатах $x^\mu=(ct,x,y,z)$ с пространственно-временной подписью $(+1,-1,-1,-1)$ метрика определяется

с^{2} г т^{2} "=" г с^{2} "=" с^{2} г т^{2} - г {\vec{р}}^{2}

$\begin{equation} c^2d\tau^2 = ds^2 = c^2dt^2 - d\vec{r}^2 \end{equation}$ где

d {\vec{r}}^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$d\vec{r}^2=dx^2+dy^2+dz^2$ . Если координаты параметризованы

τ

$\tau$ так что

t = t (τ), x = x (τ), y = y (τ)

$t=t(\tau), x=x(\tau), y=y(\tau)$ и

z = z (τ)

$z=z(\tau)$ то мы можем записать приведенные выше уравнения как

г т "=" \sqrt{г т^{2} - г {\vec{р}}^{2}}

$\begin{equation} d\tau = \sqrt{dt^2-d\vec{r}^2} \end{equation}$ что эквивалентно

г т "=" г т \sqrt{1 - в^{2}}

$\begin{equation} d\tau = dt\sqrt{1-v^2} \end{equation}$ где мы принимаем шкалу времени, для которой

c = 1

$c=1$ и

d \vec{r} / d τ

$d\vec{r}/d\tau$ эквивалентна скорости и, следовательно, соотношению между координатным временем и собственным временем между двумя событиями в

t_{1}

$t_1$ и

t_{2}

$t_2$ является

т "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} \sqrt{1 - в^{2}} г т

$\begin{equation} \tau = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-v^2}dt \end{equation}$

Чтобы ответить на ваш вопрос, пространственно-временной интервал $ds^2=d\tau^2=-g_{tt}dt^2$ , можно выразить как

г т "=" \sqrt{- г_{т т}} г т,

$\begin{equation} d\tau=\sqrt{-g_{tt}}dt, \end{equation}$ по определению. Ваше определение пространственно-временного интервала

d s^{2}

$ds^2$ немного не так, должно читаться

d s^{2} = d τ^{2} = - g_{t t} d t^{2} + . . .

$ds^2=d\tau^2 = -g_{tt}dt^2+...$

Привет, возможно, я не достаточно ясно изложил свой вопрос, извините за это. Я хочу знать, почему мой вывод соотношения между координатным временем и собственным временем из определений метрики (не плоской метрики Минковского) и пространственно-временного интервала неверен.
Пожалуйста, смотрите выше, я отредактировал свой ответ.
Я предполагаю, что в вашем ответе $g_{tt}=g_{00}$ . Проблема в том, что, учитывая определение $g_{00}(r)$ , $g_{00}(r_t)=-1$ что не является желаемым коэффициентом. Может быть, вы могли бы еще больше расширить, что вы подразумеваете под $g_{tt}$ со своим явным выражением. Кроме того, я не уверен, что в конце означает многоточие, пожалуйста, дайте дополнительное объяснение, спасибо!
Ага, $g_{tt}=g_{00}$ . Я чередую обозначения, чтобы не сойти с ума :) Хмммм, я сам сейчас запутался. Почему $g_{00}(r)=g_{00}(r_t)=-1$ ? В своем вопросе вы указываете $ds^2 = g_{00} d\tau^2 = g_{00}dt^2$ . Это неправильно. Это утверждение приравнивает собственное время и координатное время. Элемент строки должен читать $г с^{2} "=" г т^{2} "=" г_{00} г т^{2} - г {\vec{р}}^{2}$ $ds^2 = d\tau^2 = g_{00}dt^2 - d\vec{r}^2$ где $c=1$ . ты следуешь за мной?
Да, но $g_{00}$ является функцией гравитационного потенциала ( $g_{00}(r)=-\left(1+\frac{2\Phi(r)}{c^2}\right)$ ), который зависит от радиального положения. Итак, два $g_{00}$ используемые имеют разные значения (я указал, что за счет использования $g_{00}(r_\tau)$ и $g_{00}(r_t)$ вместо того, чтобы просто $g_{00}$ ). Согласно книге, координатное время $dt$ измеряется в $r=\infty$ , подставьте это в формулу для $g_{00}$ у нас есть $-1$ .( $g_{00}(r)\neq g_{00}(r_t)=-1$ ) Кроме того, в этом вопросе предположение о том, что двое часов, покоящихся друг относительно друга, подразумевает $d\mathbf{r}=0$ .
Да, конечно. см. конец моего ответа. Вы путаете собственное время и координированное время. метрика должна читать $d\tau^2=g_{00}dt^2$ . Смотрите внизу моего ответа.

пользователь1887919 · Answer 2

Ваша ошибка в том, что вы просто используете формулу пространственно-временного интервала - я думаю, вы просто запутались $dt$ 'песок $d\tau$ с.

Установите сигнатуру метрики $(-1,1,1,1,)$ . Тогда для $dr=d\theta=d\phi = 0$ пространственно-временной интервал можно записать,

г с^{2} "=" - с^{2} г т^{2} "=" г_{00} с^{2} г т^{2}

$ds^2 = -c^2 d\tau^2 = g_{00} c^2 dt^2$

и так

г т "=" \sqrt{- г_{00}} г т

$d\tau = \sqrt{-g_{00}} dt$

который является исходным результатом, который вы получили раньше.

Уточнение по запросу в комментариях:

Уточните, что сигнатура метрики $(-1,1,1,1)$ не эквивалентен значению компонентов метрики $g_{\mu \nu}$ . Позвольте мне быть явным:

Если мы возьмем, то метрика будет иметь подпись $(-1,1,1,1)$ тогда мы можем записать временные компоненты метрики Шварцшильда как:

г_{00} "=" - (1 - \frac{р_{с}}{р})

$g_{00} = -\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)$

где

р_{с} "=" \frac{2 г М}{с^{2}}

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

Теперь, учитывая, что мы можем аппроксимировать ОТО ньютоновской гравитацией в режиме слабого поля, мы можем сказать, что потенциал равен

Φ "=" - \frac{г М}{р}

$\Phi = - \frac{GM}{r}$

который заменяет в $g_{00}$ давать,

г_{00} "=" - (1 + \frac{2 Φ}{с^{2}})

$g_{00} = - \left( 1+ \frac{2 \Phi}{c^2}\right)$

но это не равно -1 , что является просто сигнатурой компонента метрики. Но с помощью $g_{00} = -(1+2\Phi/c^2)$ , вы решили использовать сигнатуру метрики (-1,1,1,1).

Не могли бы вы дать явное выражение для $g_{00}$ вы использовали выше? Это $-\left(1+\frac{2\Phi(r_\tau)}{c^2}\right)$ или $-\left(1+\frac{2\Phi(r_t)}{c^2}\right)=-1$ ? Правильный результат должен быть первым, однако я получил последний из $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^{\nu}$ .
Ahhhhh я вижу, где вы идете не так! Их компоненты метрического тензора не равны $(-1,1,1,1)$ . Это их знак. $g_{00}$ равно $1-2\Phi/c^2$
Я не предполагал компоненты метрического тензора как $(-1,1,1,1)$ , единственное, что я использовал, это $g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)$ . Если я использую $g_{00}=1-2\Phi/c^2$ затем $-g_{00}$ всегда отрицателен (поскольку $\Phi\leq 0$ ), что, безусловно, неверно.
Вы просто путаете свое координатное время и собственное время, вот и все.
Может быть, я не понимаю. У меня действительно есть копия книги, какую страницу и раздел вы имеете в виду?
Я позволяю $g_{00}=-1$ только потому, что в первую очередь это зависит от $r$ , второй для $r=r_t=\infty,\Phi=0$ , то я использую определение $g_{00}$ пусть это будет $-1$ но это верно только для $g_{00}(r_t)$ .

Эдвард · Answer 3

Ответ Румпельстилскина правильный

г т "=" \sqrt{1 - \frac{р_{г}}{р}} г т

$d\tau = \sqrt{1-\frac{r_g}{r}} dt$ но это справедливо только для часов, статически находящихся в гравитации на координатном расстоянии

r

$r$ от центра. Для движущихся часов в координатах Шварцшильда, например, при радиальном свободном падении соотношение между собственным временем и координатным временем другое.

г т "=" г т + \sqrt{\frac{р_{г}}{р}} (1 - \frac{р_{г}}{р})

$d\tau=dt+\sqrt{\frac{r_g}{r}}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)$

Связь между координатным временем и собственным временем

Таптик

Ответы (3)

Румпельстилскин

Таптик

Румпельстилскин

Таптик

Румпельстилскин

Таптик

Румпельстилскин

пользователь1887919

Таптик

Румпельстилскин

Таптик

Румпельстилскин

Румпельстилскин

Таптик

Таптик

Эдвард

Как получить замедление времени из g00g00g_{00} вообще и из метрики Шварцшильда в частности?

Почему dτdτd\tau вместо dtdtdt обозначает собственное время? Это определение?

Разница между координатным временем и собственным временем в общей теории относительности

Что на самом деле означают слова о том, что время «ускоряется» или «замедляется»?

Системы отсчета в специальной и общей теории относительности

Ускоряется ли время при движении вокруг черной дыры? Почему? Что это значит?

Кто-то, падающий в черную дыру, видит конец вселенной?

Что неверно в этом рассуждении относительно специальной теории относительности?

Почему плоская метрика подразумевает координаты?

Как мозг воспринимает замедление времени из-за гравитации?