Почему dτdτd\tau вместо dtdtdt обозначает собственное время? Это определение?

Есть два разных$dt$здесь. Один,$dt_{you}$интервал времени, измеряемый вашими часами, в то время как другие$dt_{me}$интервал времени, измеренный на моих часах.

В ваших координатах, то есть в системе покоя, вы находитесь в состоянии покоя в начале координат, и ваше пространство-время локально выглядит как плоское пространство-время. Итак, в ваших координатах$g_{00}=1$и время, которое вы измеряете на своих часах, равно собственному времени:

$$d\tau = dt_{you} \tag{1}$$

В моих координатах вы неподвижны (мы оба согласны, что вы неподвижны), но в моих координатах пространство-время вокруг вас искривлено так, что$g_{00}$уже не один. Тогда я должен написать:

$$d\tau^2 = g_{00} dt_{me}^2 \tag{2}$$

Но собственное время является инвариантом, т. е. и вы, и я должны согласиться с его значением, поэтому$d\tau$в уравнениях (1) и (2) должны иметь одинаковое значение. Это означает, что мы можем приравнять два уравнения, чтобы получить:

$$dt_{you} = dt_{me} \sqrt{g_{00}}$$

И вот как мы получаем относительное замедление времени между нами, т.е. оно связывает временные интервалы, измеренные вами, с тем же временным интервалом, измеренным мной. Я подозреваю, что путаница возникла из-за того, что в вашей системе покоя измеренные вами временные интервалы равны собственному времени.

В ОТО кривые описываются параметром$\tau$:$x^{\mu}(\tau)$который прослеживает путь в реальном мире, который обычно называют мировой линией.
Но для описания этой кривой достаточно любого параметра, а именно можно использовать другой параметр$\lambda$который может быть связан с первым через$\lambda(\tau)$.
То, что мы называем надлежащим временем$\tau$является параметром словесной строки таким, что$u^2 = u^\mu u_\mu = c^2$для времениподобной геодезической (массивной частицы). Где 4-скорость определяется как$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$.
Итак, в вашем примере у нас будет$ds^2 = g_{00} c^2 dt^2$Который означает, что

$$\begin{equation} u^2 = g_{00} u^0 u^0 = g_{00} \left( \frac{cdt}{d\tau} \right)^2 = c^2 \end{equation}$$ Только если
$$\begin{align} g_{00} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^2 &= 1 \\ \Rightarrow \frac{d\tau}{dt} &= \sqrt{g_{00}} \\ \Rightarrow d\tau &= \sqrt{g_{00}}dt \end{align}$$