Тензор энергии напряжения и ковариантная производная 4-импульса

Question

Тензор энергии напряжения и ковариантная производная 4-импульса

Даниэль Малер

Еще один основной вопрос. Я обычно видел тензор энергии напряжения $T^{ij}$ описывается как поток 4-импульсного поля $p^i$ вдоль направления $x^j$ в пространстве-времени с $p^0$ как энергия и $x^0$ как время, как стандарт в теории относительности. На том уровне, который я читал, это обычно не определяется дальше, но мне это кажется чем-то вроде

Т^{я}_{Дж} "=" \nabla_{Дж} п^{я}

$T^i\,_j = \nabla_j p^i$ или эквивалентно

Т^{я Дж} "=" г^{Дж к} \nabla_{к} п^{я}

$T^{ij} = g^{jk} \nabla_k p^i$ но я никогда не видел, чтобы это было написано таким образом. Это правильно? Если нет, то какая связь между

T^{i j}

$T^{ij}$ и

\nabla_{j} p^{i}

$\nabla_j p^i$ ? Если это правильно, то какие свойства поля 4-импульса необходимы, чтобы показать симметрию и непрерывность тензора энергии-импульса, если он определяется таким образом?

РЕДАКТИРОВАТЬ

После некоторых размышлений $T^{ij} = g^{jk} \nabla_k p^i$ не кажется правильным, так как

Т^{0 я} "=" п^{я} "=" Т^{я 0}

$T^{0i} = p^i = T^{i0}$ Мне все еще любопытно, есть ли какие-то другие отношения.

Гидро Гай

Я верю, что вы можете так думать, но я не уверен, что вы можете дать правильное определение таким образом. Обычно вы определяете

T^{i j}

$T^{ij}$ независимым образом (например, как нэтеровый поток для перемещений пространства-времени), и вы определяете импульс вашей системы как интеграл

T^{i j}

$T^{ij}$ над выбранной поверхностью. В случае пространства-времени Минковского вы интегрируете по поверхности постоянного времени и находите

P^{j} = \int d^{3} x T^{0 j}

$P^j = \int\ d^3x\ T^{0j}$ . Я не уверен, что вы можете сделать наоборот.

Даниэль Малер

@user23873 user23873 Не могли бы вы объяснить , что такое перевод пространства-времени ?

Дану

@DanielMahler Каждая непрерывная симметрия лагранжиана (плотности) имеет связанный сохраняющийся «ток». Эта теорема называется теоремой Нётер, а соответствующие токи — токами Нётер. Симметрия инвариантности относительно трансляций приводит к сохранению энергии/импульса (т.е.

T^{i j}

$T^{ij}$ ток Нётер).

Ответы (1)

Тензор энергии напряжения и ковариантная производная 4-импульса

Я верю, что вы можете так думать, но я не уверен, что вы можете дать правильное определение таким образом. Обычно вы определяете $T^{ij}$ независимым образом (например, как нэтеровый поток для перемещений пространства-времени), и вы определяете импульс вашей системы как интеграл $T^{ij}$ над выбранной поверхностью. В случае пространства-времени Минковского вы интегрируете по поверхности постоянного времени и находите $P^j = \int\ d^3x\ T^{0j}$ . Я не уверен, что вы можете сделать наоборот.
@user23873 user23873 Не могли бы вы объяснить , что такое перевод пространства-времени ?
@DanielMahler Каждая непрерывная симметрия лагранжиана (плотности) имеет связанный сохраняющийся «ток». Эта теорема называется теоремой Нётер, а соответствующие токи — токами Нётер. Симметрия инвариантности относительно трансляций приводит к сохранению энергии/импульса (т.е. $T^{ij}$ ток Нётер).

Дориан Миллер · Answer 1

Вы определенно на правильном пути, но отношения, которые вы ищете, будут зависеть от того, как вы хотите смоделировать свое дело. Пыль и радиация — две модели, которые работают лучше всего и дают практически одинаковые ответы. Конечно, общее определение $T_{\mu\nu}$ есть «поток четырехимпульсного $p_{\mu}$ по поверхности постоянной $x_{\nu}$ ». Поскольку пылевое облако представляет собой совокупность движущихся частиц с несколько фиксированной скоростью в инерциальной системе отсчета, мы можем вычислить поток (частиц) со скоростью и числом частиц, определив четыре скорости, $U_{\nu}$ , а числовая плотность частиц $n$ . Таким образом, мы можем определить (четыре) потока как $N_{\nu} = nU_{\nu}$ . Не забывайте, так как наш $0^{th}$ индекс всегда полон веселья, $N_{0}$ компонент - это числовая плотность частиц, а ненулевые индексы соответствуют потоку в направлении любого индекса, с которым вы имеете дело.

Мы почти у цели, обещаю! Исходя из этого, определите свою плотность энергии с точки зрения того, что у нас есть, а именно плотности числа частиц, $n$ , и масса частицы, чтобы дать $T_{00}$ термин плотность энергии термин: $\rho = nm$ . Как правило, это было бы $nmc^{2}$ , но возьмем такие единицы, что $c = 1$ . Нулевой член индекса четырех импульсов с использованием этих единиц равен $\frac {E} {c^{2}}$ которые вы должны заметить, чтобы быть $m$ .

Теперь у нас есть все составляющие для создания всего тензора энергии-импульса, у нас есть компонент для него и соотношение между нашими четырьмя импульсами и потоком, которое дало нам этот первый компонент. Остальные можно обобщить следующим образом:

Т_{мю ν} "=" п_{мю} Н_{ν} "=" н м U_{мю} U_{ν} "=" р U_{мю} U_{ν}

$T_{\mu\nu} = p_{\mu} N_{\nu}=nmU_{\mu}U_{\nu}=\rho U_{\mu}U_{\nu}$ Где у нас есть либо тензорное произведение между нашим импульсом и потоком (для частиц мы также можем сделать одну массивную частицу, и это будет так же просто) векторов, либо тензорное произведение наших скоростей с масштабным коэффициентом

ρ = n m

$\rho = nm$ .

Взяв смешанный тензор энергии-импульса и $T^{i}_{j} = \nabla_{j}p^{i}$ , связь $\nabla_{j}$ действующий на вектор $p^{i}$ , сводится к $\frac {\partial p^{i}}{\partial x_{j}}$ . Насколько я знаю, это не имеет никакого реального физического значения.

В целом, приведенное выше уравнение — это то, с которым вы, скорее всего, захотите согласиться. Представляем $\nabla_{j}$ тыкает в взятие ковариантных производных тензоров, что требует дополнительного члена в ответе от регулярного частного дифференцирования, называемого (вы догадались) аффинной связью, но когда вы делаете $\nabla_{j}T^{ik} = 0$ или эквивалентно $T^{ik}_{\:\:\:;j} = 0$ у нас закон сохранения энергии и импульса!

Все это было упомянуто непосредственно в этих конспектах лекций (особенно в лекции 1), если я могу показаться запутанным или неясным. Автор работает намного лучше, чем я.

Тензор энергии напряжения и ковариантная производная 4-импульса

Даниэль Малер

Гидро Гай

Даниэль Малер

Дану

Ответы (1)

Дориан Миллер

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Переупорядочивание терминов в нотации абстрактного индекса — общая теория относительности

О символе Кристоффеля и векторных полях

Что такое тензор энергии напряжения?

Как сделать так, чтобы два отдельных уравнения для символов Кристоффеля давали один и тот же ответ?

Проблема с повышением/понижением индексов в ковариантной производной [закрыто]

Тензор Киллинга в пространстве Минковского

Идентификация Бьянки с использованием нулевой тетрады

Тензор энергии напряжений идеальной жидкости и четырехскоростной

Вопрос от Шутца