Теорема Либа-Шульца-Маттиса о спиновой цепи Гейзенберга

Недавно я читаю материал о теореме Либа-Шульца-Маттиса (LSM) и не понимаю доказательство теоремы LSM. Доказательство взято из статьи Яна Аффлека . Начнем с гамильтониана Гейзенберга со спином 1/2:

ЧАС "=" ∑ я С → я ⋅ С → я + 1
Мы хотим доказать, что существует низкоэнергетическое возбуждение О ( 1 / л ) , где л — размер периодической цепочки, которая является четной. Можно предположить, что основное состояние | ψ 0 ⟩ уникален. Чтобы доказать наличие низкоэнергетического возбуждения, нам нужно построить возбужденное состояние | ψ 1 ⟩ такой, что ⟨ ψ 1 | ЧАС − Е 0 | ψ 1 ⟩ "=" О ( 1 / л ) . Мы строим это | ψ 1 ⟩ применяя унитарное преобразование к основному состоянию | ψ 0 ⟩ .
| ψ 1 ⟩ "=" U | ψ 0 ⟩     ,     U "=" опыт ⁡ ( я 2 π л ∑ н н С н г )

Мои вопросы заключаются в том, почему нам нужно применить унитарное преобразование для построения возбужденного состояния | ψ 1 ⟩ и почему унитарное преобразование U имеет такую ​​форму( ∑ н н С н г вместо ∑ н С н г )? Я ценю любой комментарий.

Ответы (1)

Мы хотим рассчитать ожидаемое значение ⟨ ЧАС − Е ⟩ на возбужденном состоянии мы строим. Это будет намного проще, если состояние, которое мы создаем, будет правильно нормализовано. Мы могли бы явно нормализовать состояние, но вычисление константы нормализации для состояний многих тел может быть болезненным. Применение унитарного оператора к уже нормализованному состоянию гарантированно даст нам другое нормализованное состояние. Оператору было бы достаточно дать нам нормализованное состояние применительно к основному состоянию (поскольку именно это мы собираемся с ним делать), но часто проще всего добиться этого, просто гарантируя, что оператор всегда сохраняет нормализация.

Для фактора н , хорошо, если мы думаем о ферромагнитном случае, мы знаем, что низкоэнергетические возбуждения являются спиновыми волнами. Антиферромагнитный случай сложнее изобразить из-за структуры основного состояния, но мы снова ожидаем какой-то волнообразный узор поверх основного состояния. Волнообразная структура будет иметь вид е я ю н . Чтобы построить наш унитарный оператор, мы продвигаем ю оператору (с наименьшей частотой, допустимой размером системы, поскольку мы ожидаем, что это будет самая низкая энергия). Фактор н играет тот же бросок, увеличивая фазу волны по мере продвижения по системе.

Теорема Либа-Шульца-Маттиса о спиновой цепи Гейзенберга
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v