Теорема Стокса в лоренцевых многообразиях

Это вторая версия моего доказательства. ОП обнаружил ошибку знака в моей первой попытке, которая показала, что мой аргумент является циклическим. Правильное доказательство ниже.

Неудивительно, что это связано с тем, что сигнатура метрики пространства-времени не является положительно определенной. Кроме того, этот вопрос очень тонкий. Следует отметить, что этот результат частично цитируется в книге Хокинга-Эллиса «Крупномасштабная структура пространства-времени» (1973 г.), правильно — в работе Вальда « Общая теория относительности » (1984 г.), неверно — в работе Кэрролла «Пространство-время и геометрия » (2003 г.) Штрауманн, Общая теория относительности (2013). Ни один из них не содержит доказательств. Связанные конспекты лекций имеют правильный результат. У Кэрролла поменялись направления «наружу» и «внутрь». Книга Гургулона « Специальная теория относительности в общих системах отсчета » содержит частичное доказательство в$4$размеры, которые мы принимаем здесь для$n$Габаритные размеры.

Сначала сформулируем предварительные условия. Доказательства можно найти в отличной книге Ли « Введение в гладкие многообразия » (2013). Мы предоставили номера теорем для удобства. (В некоторых случаях результаты по римановой геометрии следует обобщать с некоторой осторожностью.)

Позволять$M$быть гладким$n$-многообразие с краем$\partial M$. Позволять$\mathrm{d}$– внешняя производная на$M$,$i_X$внутренняя производная wrt. векторное поле$X$а также$L_X$производная Ли по отн.$X$. Позволять$g$— псевдориманова метрика на$M$с соединением Levi-Civita$\nabla$а также$(x^\mu)$ориентироваться по координатам$M$. Позволять$\{E_\mu\}_{\mu=1}^n$обозначают ортонормированный репер. Каноническая ориентация является дифференциальной формой высшей степени$\mu$для которого$\mu(E_1,\dotsc,E_n)=1$.

Затем мы определяем «внешний» и «внутренний». Вектор$v\in T_pM$($v$не должен полностью лежать в$T_p\partial M$) называется направленным наружу , если существует кривая$\gamma:(-\epsilon,0]\to M$такой, что$\gamma(0)=p$а также$\dot\gamma(0)=v$. Говорят, что она направлена ​​внутрь , если существует кривая$\gamma:[0,\epsilon)\to M$такой, что$\gamma(0)=p$а также$\dot\gamma(0)=v$. (Здесь$\epsilon$некоторое положительное число.)

Некоторые результаты. $\partial M$является гладкой вложенной коразмерностью$1$подмногообразие и имеет однозначно определенный (единичный) вектор нормали. (теор. 5.11, предлож. 15.33.) Понятие «внешнее» и «внутреннее» есть отношение эквивалентности на множестве векторов нормалей. Нормальный вектор$N$является внутренним тогда и только тогда, когда$-N$снаружи. (Предложение 5.41, Предложение 15.33.)$\mu$является канонической ориентацией тогда и только тогда, когда$\mu=\sqrt{\lvert\det g_{\mu\nu}\rvert}\,\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n$. (предложение 15.31.) Если$\omega$это ориентация,$\iota:S\hookrightarrow M$является границей подмножества$M$а также$Y$вектор, указывающий из$S$, тогда$\iota^*(i_Y\omega)$представляет собой последовательно ориентированную ориентацию на$S$. (пред. 15.24) Дивергенция$\operatorname{div}X:=\nabla_\mu X^\mu$удовлетворяет$\operatorname{div}X\,\mu=L_X\mu$. (Страница 425.) Формула Картана:$L_X=i_X\circ\mathrm{d}+\mathrm{d}\circ i_X$. (Тем. 14.35.)

Теперь пусть$(\mathcal{M},g)$быть пространственно-временным многообразием и метрикой. В настоящее время$\partial \mathcal{M}$является границей и$\iota:\partial \mathcal{M}\hookrightarrow \mathcal{M}$является включение. См. разд. 2.7 Хокинга-Эллиса для обсуждения

Гиперповерхности. Если$\iota^*g=:h$является римановым,$\partial\mathcal{M}$называется пространственноподобным и$N$является времениподобным. Если$h$лоренцев,$\partial\mathcal{M}$называется времениподобным и$N$является космоподобным.

В дальнейшем пусть$\tilde\mu$быть канонической ориентацией на$(\partial\mathcal{M},h)$и разреши$N$быть, на данный момент, внешний указывающий блок нормальный. (С$g$лоренцева, это означает, что$\langle N,N\rangle=\pm1$.)

По формуле Картана для любого векторного поля$X$,

$$\operatorname{div}X\,\mu=L_X\mu=\{\mathrm{d},i_X\}\mu=\mathrm{d}(i_X\mu),$$ и по теореме Стокса $$\int_\mathcal{M}\operatorname{div}X\,\mu=\int_{\partial \mathcal{M}}\iota^*(i_X\mu).$$

Оказывается, что$\iota^*(i_X\mu)=i_X\mu\restriction_{\partial\mathcal{M}}$не так просто определить.

Понятно, если$\partial \mathcal{M}$не равен нулю, то имеем гладкое ортогональное расщепление

$$T_p\mathcal{M}=T_p\partial \mathcal{M}\oplus \operatorname{span}N,$$ для всех $p\in\partial\mathcal{M}$. Так что давайте $$X=X^\top+X^\bot, X^\top\in T_p\partial\mathcal{M},X^\bot\in\operatorname{span}N.$$ затем $X^\bot=\alpha N$а также $X=X^\top+\alpha N$. Взяв внутренний продукт с $N$дает $$\langle N,X\rangle=\alpha\langle N,N\rangle=\sigma\alpha\implies X=X^\top+\sigma\underbrace{\langle N,X\rangle}_\beta N,$$ куда $\sigma=+1$если $N$является пространственноподобным и $\sigma=-1$является $N$является времениподобным. Таким образом $$i_X\mu=i_{X^\top}\mu+\sigma\beta i_N\mu.$$

Обратите внимание, что технически все, что мы делаем, возвращается к$\partial\mathcal{M}$, что эквивалентно ограничению на$\partial\mathcal{M}$. Позволять$\{E_\mu\}_{\mu=2}^n$быть ортонормированным репером на$\partial \mathcal{M}$. затем$X^\top$представляет собой линейную комбинацию этих векторов,$X^\top=\sum_{\mu=2}^n c_\mu E_\mu$а также

$$i_{X^\top}\mu(E_2,\dotsc,E_n)=\sum_{\mu=2}^nc_\mu\mu(E_\mu,E_2,\dotsc,E_n)=0,$$ из-за полной антисимметрии $\mu$. (Если любые две ячейки полностью антисимметричного тензора заполнены одним и тем же вектором, он равен нулю.) По линейности мы можем распространить это на все векторы в $T_p\partial\mathcal{M}$. Таким образом $i_{X^\top}\mu\restriction_{\partial \mathcal{M}}\equiv 0$и у нас есть $$i_X\mu=\sigma\beta i_N\mu\quad(\text{on $\partial\mathcal{M}$}).$$

Позволять$\{E_\mu\}_{\mu=2}^n$быть как указано выше, то$\{N,\{E_\mu\}_{\mu=2}^n\}$является ортонормированным репером на$\mathcal{M}$. (Возможно, придется изменить знак$E_\mu$чтобы$\{N,\{E_\mu\}_{\mu=2}^n\}$последовательно ориентирована.) Тогда

$$i_N\mu(E_2,\dotsc,E_n)=\mu(N,E_2\dotsc,E_n)=1,$$ что подразумевает, что $i_N\mu$каноническая ориентация $\tilde\mu$по предлож. 15.24 и 15.31 Ли. Еще раз отметим, что мы принимаем $N$быть направленным наружу здесь. Складывая все вместе, получаем $$\int_{\mathcal{M}}\operatorname{div}X\,\mu=\sigma\int_{\partial\mathcal{M}}\langle N,X\rangle\,\tilde\mu.$$

Теперь у нас есть два случая.

Случай 1. $N$является космоподобным. затем$\sigma=+1$и мы закончили.

Случай 2. $N$является времениподобным. В настоящее время$\sigma=-1$. Но потом

$$-\int_{\partial\mathcal{M}}\langle N,X\rangle\,\tilde\mu=\int_{\partial\mathcal{M}}\langle -N,X\rangle\,\tilde\mu=\int_{\partial\mathcal{M}}\langle N',X\rangle\,\tilde\mu,$$ куда $N'$— вектор нормали, направленный внутрь , по предложению 5.41 Ли.

Обратите внимание, что изменение знака$N$не изменяет$\tilde\mu$, так как для того, чтобы он был последовательно ориентирован, мы взяли нормаль, указывающую наружу. Вы могли бы написать$\tilde\mu=i_{-N'}\mu$если бы ты хотел.

Предложение 15.31 в Lee дает

$$\mu=\sqrt{\lvert g\rvert }\,\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n,\quad\tilde\mu=\sqrt{\lvert h\rvert}\,\mathrm{d}y^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}y^{n-1},$$ куда $(y^1,\dotsc,y^{n-1})$последовательно ориентированы координаты на $\partial\mathcal{M}$.

Таким образом, мы показали:

$$\int_\mathcal{M}\nabla_\mu X^\mu\sqrt{\lvert g\rvert }\,\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n=\int_{\partial\mathcal{M}}N_\mu X^\mu\sqrt{\lvert h\rvert}\,\mathrm{d}y^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}y^{n-1},$$ куда $N$указывает внутрь, если $\partial\mathcal{M}$пространственноподобно и внешне, если $\partial\mathcal{M}$является времениподобным. Обратите внимание, что в более общем случае интегралы можно брать по любому $n$-размерный $\mathcal{U}\subset\mathcal{M}$с границей $\partial\mathcal{U}$. Это потому что $(\mathcal{U},g\restriction_\mathcal{U})$пространство-время само по себе, и приведенное выше доказательство работает для $\mathcal{M}$заменен на $\mathcal{U}$а также $g$по $g\restriction_\mathcal{U}$.

Что касается примера на странице 456 Кэрролла: регион$R$ограничен пространственноподобными гиперповерхностями, поэтому мы должны взять вектор нормали, направленный внутрь. Тогда нормально на$\Sigma_2$направлено в будущее, а норма на$\Sigma_2$направлено в прошлое. Но он определяет свои интегралы$\int_{\Sigma_1}$а также$\int_{\Sigma_2}$с направленными в будущее нормальными векторами. Таким образом, интеграл$\int_{\Sigma_2}\star J$получает знак минус от нормали, направленной в прошлое.

чтобы применить теорему Стокса к многообразию Лоренца, мы должны взять нормали на границе...

Общая теорема Стокса для дифференциальных форм верна для любого ориентируемого многообразия с краем:

$$\int_D d\omega = \int_{\partial D} \omega$$

Метрика не требуется; то же верно и для многообразия Лоренца — многообразия с метрикой сигнатуры (n, 1).

Уравнение E19 в пространстве-времени и геометрии Кэрролла прямо следует из этого:

Представьте себе четырехмерную область пространства-времени R , определенную между двумя пространственными гиперповерхностями E1, E2 ; ....; часть границы, соединяющая две гиперповерхности, считается удаленной на бесконечность, где все поля равны нулю и ими можно пренебречь.

Закон сохранения E16 дает:

$$\int_R d(*J)= 0$$

Затем непосредственно по Стоксу выше

$$\int_{\partial R} *J$$

Теперь гиперповерхность R состоит из двух компонентов E1 и E2 с противоположными ориентациями, поэтому:

$$\int_{\partial E1} *J - \int_{\partial E2} *J$$

Что дает нам уравнение E19 :

$$=Q1-Q2$$