Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Я пытаюсь вывести уравнения движения второго порядка для метрической переменной, используя два подхода: формальные вакуумные уравнения поля Эйнштейна (с Т мю ν "=" 0 )

г мю ν "=" р мю ν − 1 2 г мю ν р "=" 0

и используя действие Эйнштейна-Гильберта

С "=" 1 16 π г ∫ г 4 Икс − г р

для следующей общей метрики

г с 2 "=" − ф ( р ) г т 2 + 1 ф ( р ) г р 2 + р 2 ( г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г ф 2 ) .

Эта метрика удовлетворяет вакуумному уравнению Эйнштейна, поэтому уравнения поля Эйнштейна (УЭП) должны согласовываться с уравнениями Эйлера-Лагранжа, полученными с использованием действия Эйнштейна-Гильберта (ЭГ). Однако, это не так. В частности, используя ЭФЭ, мы можем вывести 2 независимых дифференциальных уравнения, в которых метрическая функция ф ( р ) должен удовлетворить, и они

( мю ν ) "=" ( т т ) : г т т "=" ф ( р ) р 2 ( − 1 + ф ( р ) + р ф ′ ( р ) ) "=" 0

( мю ν ) "=" ( θ θ ) : г θ θ "=" 1 2 р ( 2 ф ′ ( р ) + р ф ″ ( р ) ) "=" 0

пока г р р "=" − 1 ф 2 ( р ) г т т и г ф ф "=" грех 2 ⁡ θ г θ θ . Итак, из EFE нам нужно решить 2 дифференциальных уравнения, и можно прямо проверить, что решение верно.

ф ( р ) "=" 1 − 2 г М р

что означает, что у нас есть метрика Шварцшильда.

С другой стороны, если мы начнем с действия Эйнштейна-Гильберта (EH),

С Е ЧАС "=" 1 16 π г ∫ г 4 Икс л с л "=" − г р "=" − грех ⁡ θ ( − 2 + 2 ф ( р ) + 4 р ф ′ ( р ) + р 2 ф ″ ( р ) )

и используйте вариацию Эйлера-Лагранжа, чтобы вывести дифференциальные уравнения, которым должны подчиняться ф ( р ) , у нас есть самое большее одно уравнение, а не два. (Нам также нужно преобразовать терм, содержащий ф ″ ( р ) в ф ′ ( р ) с помощью интеграла по частям так, что л содержит не более ф ′ ( р ) в производных). Единственная переменная поля здесь ф ( р ) , поэтому возможно только одно уравнение Эйлера-Лагранжа, а именно

∂ л ∂ ф ( р ) − ∂ р ( ∂ л ∂ ф ′ ( р ) ) "=" 0

Таким образом, согласно этому анализу, мы никак не можем восстановить два дифференциальных уравнения, вытекающие из EFE, используя действие EH. Эта кажущаяся загадка сохраняется со всеми формами метрик, а не только с простой, используемой в этом примере выше. В общем, при использовании действия EH с вариацией Эйлера-Лагранжа количество выводимых уравнений всегда меньше, чем количество уравнений, получаемых с помощью EFE.

Я подозреваю, что упустил из виду что-то основное здесь, и я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь мог указать мне на какой-то ответ.

разве нет уравнения ∂ θ л "=" 0 слишком?
Нет, потому что нет переменной поля, зависящей от θ , то есть нет ф ( θ ) .
вы понимаете, что вам нужно взять вариацию лагранжиана по отношению к полю г , да? Когда вы это сделаете, вы получите обратно уравнения Эйнштейна.
«Поле» g, о котором вы здесь говорите, — это метрическая функция f(r). Метрика здесь характеризуется только одной функцией f(r).
Ваш лагранжиан зависит от вторых производных метрической функции!!!!! Будьте осторожны с уравнениями Лагранжа Эйлера!!!!
Да, это правда, поэтому я добавил комментарий об интеграле по частям, чтобы преобразовать f''(r) в f'(r). Например, мы можем иметь р 2 ф ″ ( р ) превратился в − 2 р ф ′ ( р ) после отбрасывания граничного члена, но это все равно не решает проблему меньшего, чем ожидалось, количества результирующих уравнений.
Взяв производную от г т т дает г θ θ уравнение, так что у вас есть только одно реальное уравнение
Это верно ! Большое спасибо.

Ответы (4)

Есть 10 независимых компонентов метрики и 10 уравнений поля Эйнштейна. На первый взгляд кажется, что они совпадают, 10 уравнений на 10 неизвестных.

Однако оказывается, что 4 EFE на самом деле нединамические. Простой способ увидеть это начинается с того факта, что тензор Эйнштейна не расходится. ∇ мю г мю ν "=" 0 . Мы можем переписать это как

∂ 0 г 0 ν "=" − ∂ я г я ν − Г мю κ ν г мю κ − Г мю κ мю г κ ν

Поскольку правая часть содержит не более вторых производных по времени от метрики, г 0 ν может содержать не более первых производных по времени от метрики. Следовательно, эти компоненты не являются динамическими уравнениями, они выражают ограничение на начальные условия, которые должны поддерживаться другими уравнениями.

Казалось бы, это означает, что уравнения Эйнштейна недоопределены, но мы не должны забывать, что есть также четыре степени свободы в выборе калибровки для метрики, свобода, которую мы имеем в выборе наших координат.

Поскольку ваш анзац использует всю эту свободу и не динамичен, он должен быть чисто ограниченным. Взяв производную по р принадлежащий г т т компонента тензора Эйнштейна дает г θ θ компонент, показывающий, что у вас есть только одно реальное уравнение.

Я не совсем понимаю, как это объясняет неработающую вариацию действия, но я знаю, как это исправить, снова введя немного свободы. Вместо этого возьмите в качестве анзаца

г с 2 "=" − Н 2 ( т ) ф ( р ) г т 2 + 1 ф ( р ) г р 2 + р 2 г Ом 2 ,

где я просто добавил функцию Н ( т ) . После нескольких раундов частичного интегрирования действие будет пропорционально

С ∝ ∫ г р г т Н ( − 1 + ф + р ф ′ )

Н - нединамическая переменная, появляющаяся без производных и действующая как множитель Лагранжа. Его уравнение Эйлера-Лагранжа будет обеспечивать ограничение, соответствующее г т т компонент уравнений поля Эйнштейна, которые вы затем можете решить, чтобы окончательно найти метрику Шварцшильда. В некотором смысле, Н выражает нашу свободу выбора временной координаты, которая, в свою очередь, соответствует г т т уравнение поля.

Это действительно то, что я искал! Большое спасибо еще раз. Добавление Н ( т ) Калибровка великолепна для этого случая, когда метрическая функция зависит только от р и не т , следовательно, нет Н ′ ( т ) . Я хотел бы уточнить 1 момент: Будет ли это Н ( т ) калибровочная работа для анзаца, содержащего зависящий от времени фактор(ы), например, метрика FRLW с а ( т ) фактор перед пространственным сечением? Теперь все зависит от времени, и Н ( т ) должна сама стать динамичной, если только после изменения EL мы не возьмем предел Н ( т ) → 1 , Н ′ ( т ) → 0 ?
@user195583 user195583 Попробуйте сами с FLRW :) Вы обнаружите, что он работает так же хорошо, поскольку любая временная производная от N может быть удалена путем частичного интегрирования. Этот метод можно обобщить, и оказывается, что ОТО в каком-то смысле совершенно нединамична, т. е. состоит исключительно из ограничений. Ключевые слова здесь: «формализм ADM» или «разложение 3 + 1».
Это работает и с FLRW :) Я получил 2 уравнения Фридмана после того, как сделал вариант EL и взял предел Н ( т ) → 1 , Н ′ ( т ) → 0 .

Проблема в вашем выводе с использованием принципа действия заключается в том, что вы сильно ограничили пространство состояний, в котором определяется ваш лагранжиан. Вы предполагаете, что метрика имеет вид

г с 2 "=" − ф ( р ) г т 2 + ф ( р ) − 1 г р 2 + р 2 г Ом
с г Ом 2-сферный объем. Если вы посмотрите на пространство состояний, т. е. пространство метрик на вашем многообразии, метрики этой формы будут просто подпространством, параметризованным ф . В своем выводе вы пытались варьировать в этом подпространстве пространства состояний и тем самым вводить ограничения на вашу систему, заставляя ее оставаться на поверхности ограничений. Однако в этом случае нет причин ограничивать нашу систему, и проще сделать вариацию на полном пространстве состояний. Конечно, конкретная форма метрики может быть обусловлена ​​симметрией, но работа с ограничениями может сильно усложнить ситуацию.

Возможно, это не тот ответ, на который вы надеялись, но я надеюсь, что он вам все равно поможет!

Ваше здоровье!

Количество уравнений, которые вы получаете из специализированного действия EH (того, которое содержит анзац, вставленный перед выводом уравнений Эйлера-Лагранжа), на самом деле не меньше. Он только выглядит меньше, потому что уравнения, которые вы получаете для ф от общего действия ЭГ избыточны. ( т т ) уравнение означает, что либо ф "=" 0 или − 1 + ф + р ф ′ "=" 0 , и оба эти случая автоматически влекут 2 ф ′ + р ф ″ "=" 0 , что, в свою очередь, подразумевает ( θ θ ) уравнение.

Спасибо ! Это правда, как также указал @Kasper выше, что производная от г т т урожаи г θ θ . Итак, в целом, в EFE есть некоторая избыточность по сравнению со специализированным действием EH? Я думаю, что наблюдал это в некоторых случаях с более общим анзацем (с участием большего количества метрических функций). ф 1 ( р ) , ф 2 ( р ) и т. д. ).
@ user195583 Интуиция: пусть А быть анзацем, включающим решение Икс к общим уравнениям ЭЛ. Если мы начнем с уравнений EL с общего действия, а затем специализируем уравнения EL до анзаца А , результирующие специализированные уравнения EL обычно будут избыточными. Интуитивно это происходит потому, что анзац А включает в себя решение Икс , поэтому специализирующийся на анзаце А неявно использует информацию из общих уравнений EL, что делает их избыточными в некоторых аспектах. Мы можем избежать этой избыточности, сначала настроив действие на А а затем вывести уравнения ЭЛ.

Функция ф ( р ) здесь играет роль не динамическое поле, а метрика . Это означает, что вы не можете просто вывести уравнения Эйлера-Лагранжа относительно ф , а лучше рассмотреть вариацию действия по отношению к метрике, и приравнять ее к нулю. Следуя этой процедуре, вы получите вакуумные уравнения поля Эйнштейна (по модулю некоторых задач, связанных с граничным членом), которые на самом деле являются уравнениями системы Эйлера-Лагранжа.

У меня нет проблем с формальным выводом вариации действия Эйнштейна-Гильберта, который, как можно показать, приводит к уравнениям поля Эйнштейна. Однако, когда мы работаем с конкретным анзацем метрики, именно переменная метрической функции, такая как f (r), является динамической. Как вы можете видеть из EFE выше, f (r) — это динамическая переменная в уравнениях движения второго порядка, для которых необходимо решить. Таким образом, он должен работать и с действием Эйнштейна-Гильберта, а это означает, что его изменение должно давать те же результаты, что и EFE.
f(r) не более динамическая переменная, чем любой другой метрический коэффициент. Метрика - это не набор непересекающихся объектов, это единый тензор, и его следует рассматривать как таковой. создание анзаца не превращает изначально тензорное поле в скалярное поле. Таким образом, уравнения Эйлера-Лагранжа действия этого тензорного поля, т. е. уравнения поля Эйнштейна, остаются уравнениями движения, описывающими систему.
Это неправильно, при изменении действия нет причин, по которым правильным будет только изменение относительно компонентов метрики. Все возможные вариации должны быть равны нулю.
@Kasper Кому вы адресовали поговорку «Это неправильно»?
Боюсь, я с тобой не согласен @A.Ok
@Каспер Так и думал. но я не понимаю, в чем несогласие. «при варьировании действия нет никаких причин, почему только варьирование относительно компонентов метрики было бы правильным», — скажете вы, но это именно мое утверждение — «Метрика — это не набор непересекающихся объектов, это единый тензор, и его следует рассматривать как таковой», что означает, что вариации только по компонентам метрики недостаточно, «но вам следует рассмотреть вариацию действия по отношению к метрике», как я сказал в своем ответе.
Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v