Требуется ли допущение, что две системы отсчета инерциальны при выводе уравнений преобразования?

Если они не инерциальные, то системы можно отличить друг от друга, т.е. можно проводить эксперименты, и показания будут разными для разных систем. Поэтому в преобразовании Галилея, так же как и в специальной теории относительности, мы используем инерциальные системы отсчета для соблюдения принципа относительности.

Что вы имеете в виду, что требуется только результат? Вы имеете в виду предположение, что обе системы отсчета имеют одинаковое ускорение, что относительная скорость постоянна или что?

Это верно, если обе системы отсчета ускоряются с одинаковой скоростью — ваши преобразования координат будут одинаковыми, даже если ньютоновские физические законы не выполняются. Если они имеют два отдельных ускорения, то закон "$\mathbf{V'}-\mathbf{V}=u$" (где$u$не зависит от времени) выполняется, и ваше уравнение для$v'$в рамках$S$будет выглядеть Галилеем.

В случае двух кадров с одинаковыми ускорениями, измеряя скорость другого кадра и не принимая во внимание какие-либо физические наблюдения, да, вы можете получить преобразования Галилея. Но легко сконструировать ситуации, когда это не так. Если ускорения систем отсчета различны, вы не получите преобразования Галилея, а если системы отсчета имеют угловую скорость (то есть, если они вращаются отсчета), все станет еще более странным. (В таком случае я не уверен, какой интересный вопрос можно было бы задать!)

Специальная релятивистская версия этого была бы другой. Одна проблема обычно формулируется так: если вы навяжете нить между двумя космическими кораблями, ускоряющимися равномерно (с одинаковым ускорением) на некотором расстоянии друг от друга, нить порвется. ( Парадокс космического корабля Белла ) Поскольку в одном кадре другой космический корабль будет выглядеть так, как будто он ускоряется, ясно, что вы не можете линейно преобразовывать события из одного кадра в другой, поэтому преобразование Лоренца не будет выполняться. Я не знаю, есть ли какая-то конфигурация систем отсчета и ускорений, которая позволила бы этому удержаться - это было бы что-то доказать, и вы можете спросить об этом на stackexchange после точной формулировки вопроса! (и попробуйте сами. Я бы сформулировал это примерно так: «Учитывая кадр$S_1$и$S_2$, с позициями$X_1(t)$и$X_2(t)$, с$X_1(0)=x_2(0)$в инерциальной системе отсчета$O$, какие ограничения должны быть наложены на$X_1$и$X_2$чтобы события переходили из одного кадра в другой по-лоренцевски? В частности, они всегда должны иметь нулевую секундную производную.

Я бы написал комментарий, но у меня нет привилегии, поэтому пишу ответ

« При выводе преобразований Галилея единственное предположение состоит в том, что две системы отсчета движутся с некоторой постоянной относительной скоростью u».

Подсказка: «При выводе преобразований Галилея единственное предположение состоит в том, что две системы отсчета движутся друг относительно друга с некоторой постоянной относительной скоростью u».
Прочтите это предложение внимательно.
PS: Поскольку вы пришли к теории относительности , помните, что каждое измерение проводится относительно некоторой системы отсчета (системы координат).$S$и$S^{'}$инерционны друг относительно друга, но не инерционны относительно$O$.