Как мы можем объяснить разницу в изменении кинетической энергии из-за разных систем отсчета?

Изначально у вашего мяча есть энергия ($2J$) и некоторый импульс ($2Ns$). И у стены есть какая-то энергия ($0J$) и некоторый импульс ($0Ns$). И есть какая-то внутренняя энергия,$U=U_0,$дело в том, что тепло увеличивается.

После этого мяч имеет некоторую энергию ($0J$) и некоторый импульс ($0Ns$). И у стены есть какая-то энергия ($0J$) и некоторый импульс ($2Ns$). И есть какая-то внутренняя энергия,$U=U_0+2J,$дело в том, что нагрев увеличился.

Обратите внимание, что стена имеет некоторый импульс, но не энергию. Почему? Потому что он имеет бесконечную массу и$K.E.=p^2/(2m).$И у него бесконечная масса, потому что только так он может получить импульс от мяча, не изменяя при этом своей скорости.

Так что в движущейся системе координат все иначе.

Изначально у вашего мяча есть энергия ($8J$) и некоторый импульс ($4Ns$). И у стены есть какая-то энергия ($\infty J$) и некоторый импульс ($\infty Ns$).

После этого мяч имеет некоторую энергию ($2J$) и некоторый импульс ($2Ns$). И у стены есть какая-то энергия ($\infty J$) и некоторый импульс ($\infty Ns$).

Энергия и импульс сохраняются в обеих системах отсчета, но это бесполезно, когда у вас есть бесконечно массивные объекты.

Что, если вы придадите стене некоторую конечную массу? Если у вас есть шар массы$m$и стена массы$M$а начальный импульс равен$p$тогда есть начальная энергия$p^2/(2m).$

Тогда после столкновения конечная скорость$v_1=p/(m+M).$Это означает, что кинетическая энергия мяча равна$\frac{mp^2}{2(m+M)^2}$а кинетическая энергия стенки$\frac{Mp^2}{2(m+M)^2}.$Таким образом, полная кинетическая энергия после этого равна$\frac{p^2}{2(m+M)}.$

Таким образом, изменение кинетической энергии равно$\frac{p^2}{2m}-\frac{p^2}{2(m+M)}$что равно$\frac{Mp^2}{2m(m+M)}.$Именно столько энергии уходит в тепло. И прежде чем мы продолжим, у этого результата есть отличная физическая интерпретация с точки зрения того, что происходит, когда M стремится к бесконечности. У вас была начальная энергия$p^2/(2m)$и$M/(m+M)$часть идет на тепло, остальное идет на кинетическую энергию стенки.

Теперь рассмотрим рамку, которая движется с дополнительной скоростью$u$относительно стены.

Начальный импульс мяча равен$p+um$а его начальная кинетическая энергия равна$(p+um)^2/(2m).$Стена имеет начальный импульс$uM$а его начальная кинетическая энергия равна$(uM)^2/(2M).$Таким образом, полная начальная кинетическая энергия равна$\frac{(p+um)^2}{2m}+\frac{(uM)^2}{2M}$что равно$\frac{M(p+um)^2+m(uM)^2}{2mM}.$

Тогда после столкновения конечная скорость$v_2=\frac{1}{m+M}(p+um+uM).$Это означает, что кинетическая энергия мяча равна$\frac{m(p+um+uM)^2}{2(m+M)^2}$а кинетическая энергия стенки$\frac{M(p+um+uM)^2}{2(m+M)^2}.$Таким образом, полная кинетическая энергия после этого равна$\frac{(p+um+uM)^2}{2(m+M)}.$

Таким образом, изменение кинетической энергии равно$\frac{(p+um+uM)^2}{2(m+M)}-\frac{M(p+um)^2+m(uM)^2}{2mM}=$

$-\frac{Mp^2}{2m(m+M)}.$А минус в том, что я случайно вычла начальную из конечной.

Тимей дал полный технический ответ: кинетическая энергия самой стены немного меняется. Поскольку кинетическая энергия масштабируется как$v^2$, в первом случае (где стена начинается с$v = 0$), но существенным во втором случае (где стена начинается с$v = 2$), и вот куда уходит недостающая энергия.

К счастью, в целом мы знаем , что все получится, если вы перейдете к другим системам отсчета; мы это доказали! Самый лучший способ выразить этот факт - уравнение$\partial_\mu T^{\mu \nu} = 0$, где$T$– тензор энергии-импульса; вы можете расширить это, чтобы показать, что количества$\int d^3x T^{0\mu}$все сохраняются. Забавные положения индексов$\mu$и$\nu$на самом деле скажите нам, как именно количество$\partial$и$T$преобразуются между системами отсчета, так что, просто взглянув на их положение, мы знаем, что импульс/энергия сохраняется в любой системе отсчета.

Представьте себе мяч ($mass= 1kg$) движется со скоростью$2 m/s$к стене. Когда он ударяется о стену, он внезапно останавливается, тем самым высвобождая всю свою КЭ в виде тепла. Здесь,$Initial K.E. = (1/2)*m*v^2 = 2J$, а конечное КЭ, очевидно, равно нулю. Так тепло выделилось($Final KE - Initial KE$) равно$2J$.

Теперь предположим, что я сажусь в машину, движущуюся со скоростью$2 m/s$к встречному мячу со стороны стены. Так что для меня мяч изначально движется в$4 m/s$, а после удара движется со$2 m/s$(относительная скорость). В этом случае$Initial KE=8J$, и$FinalBallKE=2J$, а выделяющееся тепло по-прежнему$2J$. В этом случае кинетическая энергия стенки$WallKE = InitialKE - HeatLiberated - FinalBallKE$, (из-за сохранения энергии) равно 4Дж.

Так что ваше наблюдение было почти правильным, просто не была учтена кинетическая энергия стены.

В раме автомобиля мяч изначально имеет 8 Дж кинетической энергии относительно вас, однако он имеет только 2 Дж кинетической энергии относительно стены, которая также движется в раме автомобиля.