Третий закон Ньютона и общая теория относительности

Во-первых, давайте отметим, что третий закон Ньютона действительно эквивалентен закону сохранения количества движения, например, объект один воздействует на объект два и наоборот, и эти две силы являются единственными силами во Вселенной:

$$\begin{align} F_{12} &= -F_{21}\\ m_{2}a_{2} &= -m_{1}a_{1}\\ \int m_{2}a_{2} dt &= -\int m_{1}a_{1} dt\\ m_{2}v_{2f}-m_{2}v_{2i} &= m_{1}v_{1i}-m_{1}v_{1f}\\ m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f} &= m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i}\\ \sum p_{f} &= \sum p_{i} \end{align}$$

Теперь мы знаем, что ищем сохранение импульса, а не только третий закон Ньютона (а сохранение импульса в любом случае является более общей концепцией — третий закон Ньютона окажется ложным в различных электромагнитных приложениях, но закон сохранения импульса все равно будет правдой). Как добиться сохранения импульса? Что ж, движение частицы можно найти, ища миниум чего-то, известного как лагранжиан:

$$L = KE - PE$$

Оказывается, есть результат, называемый теоремой Нётер, который говорит, что если лагранжиан не меняется, когда вы определенным образом модифицируете свои переменные, то динамика, определяемая этим лагранжианом, обязательно будет иметь сохраняющуюся величину, связанную с этим преобразованием. Оказывается, сохранение импульса возникает, когда инвариантность есть перенос координат:$x^{a^\prime} = x^{a} + \delta^{a}$. Теперь вернемся к общей теории относительности. Здесь движение частицы максимизирует длину:

$$\int ds^{2} =\int g_{ab}{\dot x^{a}}{\dot x^{b}}$$

Если метрический тензор$g_{ab}$имеет трансляционную инвариантность, это движение обязательно будет иметь связанный с ним сохраняющийся импульс и не будет иначе. Примечание: общие решения, такие как решение Шварцшильда для ОТО, НЕ инвариантны к трансляции — это потому, что модель предполагает, что центральная черная дыра не движется. Более общее решение, включающее обратную реакцию движения пробной частицы, ДОЛЖНО иметь сохраняющийся импульс (и заканчивалось бы движущейся черной дырой после завершения некоторого обращения по орбите).

Третий закон Ньютона частично выполняется в общей теории относительности.

В общей теории относительности пространство-время «искривлено», и импульс (и, следовательно, сила) в точке не может быть напрямую осмысленно сопоставлен с импульсом (и силой) в другой точке пространства-времени. Чтобы сопоставлять количества из разных точек пространства-времени, нам нужно что-то, называемое «параллельным транспортом», которое отображает пространство импульса (или силы) в одной точке на пространство импульса (или силы) в другой точке при заданном пути. Как видите, результирующий импульс (и сила) в пункте назначения зависит от выбранного пути и конкретной геометрии конкретного пространства-времени. Таким образом, силы на расстоянии не могут на самом деле подчиняться вещам, подобным третьему закону Ньютона.

Однако локально (т. е. в одной пространственно-временной точке) третий закон Ньютона (вроде бы) выполняется. По сути, третий закон Ньютона эквивалентен закону сохранения импульса. В общей теории относительности это имеет место в виде

$$\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = 0$$ где $T^{\alpha\beta}$– тензор энергии-импульса и $\nabla_\beta$обозначает ковариантную производную. Тензор энергии-импульса, о котором вы уже догадались, представляет собой энергию и импульс, а также некоторые другие компоненты, не имеющие значения здесь, в точке пространства-времени, а ковариантная производная в основном представляет собой производную, слегка модифицированную, скажем, для работы в искривленном пространстве-времени. Таким образом, уравнение говорит, что производная импульса равна нулю, и это можно интерпретировать как равное сохранению импульса, что соответствует третьему закону Ньютона.