Триплетные состояния, состояния Дике и симметричные состояния со спином 1

Это не так легко обобщить, хотя есть и частные случаи.

Если вы смотрите на$n$-кратная связь фундаментального представления любого$SU(n)$группы, вы можете использовать двойственность Шура-Вейля и немедленно вывести симметрию результирующих состояний из симметрии двойственного представления симметрической группы. Для$SU(2)$см. этот связанный ответ на этот вопрос .

При соединении любых двух одинаковых угловых моментов симметрия перестановки может быть выведена из симметрии соответствующего коэффициента Клебша-Гордана :

$$\begin{align} C^{LM}_{\ell_1m_1;\ell_2m_2}=(-1)^{\ell_1+\ell_2-L}C^{LM}_{\ell_2m_2;\ell_1m_1} \end{align}$$ Таким образом, в вашем примере соединение двух$\ell_1=\ell_2=\ell$состояния углового момента будут симметричными, если$2\ell-L$четно и антисимметрично, если$2\ell-L$странно. Это относится к любому значению$\ell$.

Стратегия применима для любых двух повторений чего-либо, но CG не так легко доступны, так что это непрактичный путь.

Для соединения нескольких$\ell=1$состояний, можно использовать трюк Шур-Вейля, потому что$\ell=1$состояния являются основой для фундаментального представления$(1,0)$(или$\mathbf{3}$) из$SU(3)$. Тогда двойная связь даст$SU(3)$невозврат$(2,0)\oplus (0,1)$и правила ветвления дают

$$\begin{align} (2,0)\downarrow L=2\oplus L=0\, ,\qquad (0,1)\downarrow L=1 \end{align}$$ Таким образом, государства в$(2,0)$симметричны и находятся в$(0,1)$антисимметричный. Правила ветвления были первоначально выведены Эллиоттом для ядерной$\mathfrak{su}(3)$модель. Это выглядит как

Эллиотт, Дж. П., 1958. Коллективное движение в модели ядерной оболочки. I. Схемы классификации состояний смешанных конфигураций. Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки, 245(1240), стр.128-145.

имеет дело с этим, но, оглядываясь назад на статью Фила Эллиотта той эпохи, вы, безусловно, найдете то, что ищете.

Таким же образом можно продолжить и для частиц, что дает

$$\begin{align} (3,0)\oplus (1,1)\oplus (1,1)\oplus (0,0) \end{align}$$ с$(3,0)\downarrow L=3\oplus L=1$симметричная часть,$(0,0)\downarrow L=0$полностью антисимметричны, и обе копии$(1,1)\downarrow L=2\oplus L=1$смешанной симметрии.

В общем случае разложение этих типов на иррепы конкретных симметрий требует понятия плетизма и функций Шура. Разумный обзор сделок с некоторыми аспектами этого

Роу, Д.Дж., Карвальо, М.Дж. и Репка, Дж., 2012. Двойное спаривание симметрии и динамических групп в физике. Обзоры современной физики, 84 (2), стр. 711.

Основная идея состоит в том, чтобы использовать правило подстановки в функциях Шура для большей группы, чтобы можно было использовать двойственность Шура-Вейля. Пример разложения нескольких копий$\ell=1$состояний путем перехода к множественным копиям основных$SU(3)$является примером такого типа процедуры. Этот механизм требует расширения (обычно довольно длинного) многочлена, и его нелегко сделать вручную.